ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、ベクトルたちサブスペース（部分空間）のカノニカル（正典）トポロジーはサブスペース（部分空間）トポロジーであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、任意のベクトルたちサブスペース（部分空間）のカノニカル（正典）トポロジーはサブスペース（部分空間）トポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d'\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)で、\(d \le d'\)を満たすもの
\(V'\): \(\in \{\text{ 全ての } d' \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(V\): \(\in \{V' \text{ の全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元）ベクトルたちサブスペース（部分空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(V \text{ のカノニカル（正典）トポロジー } = V \text{ の } V' \text{ の中におけるサブスペース（部分空間）トポロジー }\)
//
2: 注
当該カノニカル（正典）トポロジーおよび当該サブスペース（部分空間）トポロジーは別に定義されているので、当該主張に対して私たちは証明を必要とする。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: インクルージョン（封入）\(\iota: V \to \iota (V) \subseteq V'\)を取り、本命題は、\(\iota\)がホメオモーフィズム（位相同形写像）であることに等しいことを見る; ステップ2: \(V\)に対する任意のベーシス（基底）\(B\)および\(V'\)に対する任意のベーシス（基底）\(B'\)を\(B\)の拡張として取り、当該ベーシス（基底）たちに関するカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: V \to F^d\)およびカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f': V' \to F^{d'}\)を取り、\(f'\)のリストリクション（制限）\(f'': \iota (V) \to f' (\iota (V))\)を取る; ステップ3: インクルージョン（封入）\(\iota': F^d \to \iota' (F^d) \subseteq F^{d'}\)を取り、\(\iota = f''^{-1} \circ \iota' \circ f\)であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
インクルージョン（封入）\(\iota: V \to \iota (V) \subseteq V'\)、ここで、\(V\)はカノニカル（正典）トポロジーを持ち\(\iota (V)\)はサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ、を取ろう。
本命題は、\(\iota\)がホメオモーフィズム（位相同形写像）であることに等しい、なぜなら、もしも、\(\iota\)がホメオモーフィック（位相同形写像）であれば、\(V\)の各オープンサブセット（開部分集合）\(U\)に対して、\(\iota (U)\)は\(\iota (V)\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、\(\iota (V)\)の各オープンサブセット（開部分集合）\(\iota (U)\)に対して、\(U\)は\(V\)のオープンサブセット（開部分集合）である、それは、\(V\)と\(\iota (V)\)は同一トポロジーを持つことと等しい。
ステップ2:
\(V\)に対する任意のベーシス（基底）\(B = \{b_1, ... b_d\}\)を取ろう。
\(B\)は\(V'\)上でリニアにインディペンデント（線形独立）である、なぜなら、そうでなければ、\(B\)は\(V\)上でリニアにインディペンデント（線形独立）でないことになる。
任意のベクトルたちスペース（空間）、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）なサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）は拡張してベーシス（基底）にできるという命題によって、あるベーシス（基底）\(B'\)が、\(B \subseteq B'\)であるように選べる、したがって、\(B' = \{b_1, ..., b_d, b'_{d + 1}, ..., b'_{d'}\}\)。
カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: V \to F^d\)を、\(B\)に関して取ろう。
カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f': V' \to F^{d'}\)を、\(B'\)に関して取ろう。
\(f'\)のリストリクション（制限）\(f'': \iota (V) \subseteq V' \to f' (\iota (V)) \subseteq F^{d'}\)、ここで、\(\iota (V)\)は\(V'\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持ち\(f' (\iota (V))\)は\(F^{d'}\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ、を取ろう。
\(f''\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
ステップ3:
インクルージョン（封入）\(\iota': F^d \to \iota' (F^d) \subseteq F^{d'}, (r^1, ..., r^d) \mapsto (r^1, ..., r^d, 0, ..., 0)\)、ここで、\(\iota' (F^d)\)は\(F^{d'}\)のサブスペース（部分空間）トポロジーを持つ、を取ろう。
\(\iota'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題または任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）内にネストされた任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、ネストしているコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のトポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
\(\iota = f''^{-1} \circ \iota' \circ f\)、なぜなら、各\(v = v^j b_j \in V\)に対して、\(\iota (v) = v = v^j b_j\)、その一方、\(f''^{-1} \circ \iota' \circ f (v) = f''^{-1} \circ \iota' (v^1, ..., v^d) = f''^{-1} (v^1, ..., v^d, 0, ..., 0) = v^j b_j + \sum_{j \in \{d + 1, ..., d'\}} 0 b'_j = v^j b_j\)。
ステップ4:
\(\iota'\)のドメイン（定義域）は\(f\)のコドメイン（余域）に等しく、\(f''^{-1}\)のドメイン（定義域）は\(\iota'\)のコドメイン（余域）に等しい、なぜなら、\(f' (\iota (V)) \subseteq F^{d'} = \iota' (F^d) \subseteq F^{d'}\)。
したがって、\(\iota\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
