ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間リニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）は当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間任意のリニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパーモジュール（超加群）から任意のモジュール（加群）の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）たちでカノニカル（正典）トポロジーたちを持つものたち間任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d_1\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(d_2\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(V_1\): \(\in \{\text{ 全ての } d_1 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(V_2\): \(\in \{\text{ 全ての } d_2 \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(f\): \(: V_1 \to V_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 注
本命題は、\(V_1\)および\(V_2\)がファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）であることに依存している: 任意のノルムたちによってインデュースト（誘導された）任意のベクトルたちメトリックスペース（計量付き空間）たち間の任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、それがバウンデッド（有界）である場合、その場合に限って、という命題と比較のこと。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）および\(V_2\)に対する任意のベーシス（基底）および当該ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）たちの上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち\(f_1, f_2\)を取る; ステップ2: \(f = {f_2}^{-1} \circ f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1} \circ f_1\)であることを見る; ステップ3: \({f_2}^{-1}\)、\(f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1}\)、\(f_1\)はコンティニュアス（連続）であることを見る。
ステップ1:
\(V_1\)に対する任意のベーシス（基底）\(B_1\)および\(V_2\)に対する任意のベーシス（基底）\(B_2\)を取ろう。
\(f_1: V_1 \to F^{d_1}\)を\(B_1\)に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）の上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）としよう: 任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）および任意のベーシス（基底）に対して、当該ベクトルたちスペース（空間）は当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）へ'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であるという命題を参照のこと。
\(f_2: V_2 \to F^{d_2}\)を\(B_2\)に関するコンポーネントたちベクトルたちスペース（空間）の上への'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）としよう、同様に。
ステップ2:
\(f = {f_2}^{-1} \circ f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1} \circ f_1\)。
ステップ3:
\(f_2\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、\(V_2\)のトポロジーは、\(f_2\)をホメオモーフィック（位相同形写像）とするように定義されている。
したがって、\({f_2}^{-1}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、したがって、コンティニュアス（連続）である。
\(f_1\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、同様に、そして、コンティニュアス（連続）である。
\(f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1}\)はリニア（線形）である、任意のモジュール（加群）たち間任意のリニアマップ（線形写像）および第1マップ（写像）のコドメイン（余域）の任意のスーパーモジュール（超加群）から任意のモジュール（加群）の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、第1マップ（写像）の後に第2マップ（写像）を行なうコンポジション（合成）はリニア（線形）であるという命題によって。
したがって、それはコンティニュアス（連続）である、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題または任意のコンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）たち間任意のリニアマップ（線形写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
したがって、\(f = {f_2}^{-1} \circ (f_2 \circ f \circ {f_1}^{-1}) \circ f_1\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
