メジャラブルスペース（測定可能空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの中へのマップ（写像）に対して、もしも、マップ（写像）がメジャラブル（測定可能）である場合、そしてその場合に限って、リアル（実）およびイマジナリー（虚）パートたちマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のプロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちでボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちを持つもの間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
- 読者は、\(d\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのプロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるを認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの中へのマップ（写像）に対して、もしも、当該マップ（写像）がメジャラブル（測定可能）である場合、そしてその場合に限って、リアル（実）およびイマジナリー（虚）パートたちマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, A)\): \(\in \{\text{ 全てのメジャラブルスペース（測定可能空間）たち }\}\)
\(\mathbb{C}\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(f\): \(: M \to \mathbb{C}\)
\(f_1\): \(: M \to \mathbb{R}, m \mapsto Re (f (m))\)
\(f_2\): \(: M \to \mathbb{R}, m \mapsto Im (f (m))\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
\(\iff\)
\(f_1, f_2 \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}\)、プロジェクション（射影）たち\(g_1: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)および\(g_2: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)、\(h: M \to \mathbb{R}^2, m \mapsto (f_1 (m), f_2 (m))\)を取る; ステップ2: \(f_1 = g_1 \circ g^{-1} \circ f\)、\(f_2 = g_2 \circ g^{-1} \circ f\)、\(f = g \circ h\)であることを見る; ステップ3: \(f\)はメジャラブル（測定可能）であると仮定し、\(f_1\)および\(f_2\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る; ステップ4: \(f_1\)および\(f_2\)がメジャラブル（測定可能）であると仮定し、\(f\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る。
ステップ1:
\(\mathbb{R}^2\)を、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つものとしよう。
\(\mathbb{R}\)を、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）でボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つものとしよう。
\(g: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}\)を、コンプレックス（複素）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義内で言及されているカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）としよう。
\(g_1: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (r_1, r_2) \mapsto r_1\)を、プロジェクション（射影）としよう。
\(g_2: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (r_1, r_2) \mapsto r_2\)を、プロジェクション（射影）としよう。
\(h: M \to \mathbb{R}^2, m \mapsto (f_1 (m), f_2 (m))\)としよう。
ステップ2:
\(f_1 = g_1 \circ g^{-1} \circ f\)。
\(f_2 = g_2 \circ g^{-1} \circ f\)。
\(f = g \circ h\)。
ステップ3:
\(f\)はメジャラブル（測定可能）であると仮定しよう。
\(g_1 \circ g^{-1}: \mathbb{C} \to \mathbb{R}\)のことを考えよう。
\(g_1\)はコンティニュアス（連続）である、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題および任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のプロジェクション（射影）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
したがって、\(g_1 \circ g^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(g_1 \circ g^{-1}\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちでボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちを持つもの間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
したがって、\(f_1 = g_1 \circ g^{-1} \circ f\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
\(f_2 = g_2 \circ g^{-1} \circ f\)はメジャラブル（測定可能）である、同様に。
ステップ4:
\(f_1\)および\(f_2\)はメジャラブル（測定可能）であると仮定しよう。
\(h\)はメジャラブル（測定可能）である、\(d\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちのプロダクト\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）であるおよび任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちのいくつかの疑似プロダクトマップ（写像）たちはメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
\(g\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちでボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）たちを持つもの間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
したがって、\(f = g \circ h\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）たちに対して、コンポジション（合成）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
