トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアス（連続）オープン（開）またはクローズド（閉）インジェクション（単射）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドマップ（閉写像）の定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアス（連続）オープン（開）またはクローズド（閉）インジェクション（単射）はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）インジェクション（単射）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\} \cup \{\text{ 全てのクローズドマップ（閉写像）たち }\}\)
\(\implies\)
\(f \in \{\text{ 全てのコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f\)はオープン（開）であると仮定し、\(f\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることを見る; ステップ2: \(f\)はクローズド（閉）であると仮定し、\(f\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）であることを見る。
ステップ1:
\(f\)はオープン（開）であると仮定しよう。
\(f\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）\(f': T_1 \to f (T_1), t \mapsto f (t)\)のことを考えよう。
\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(f\)はインジェクション（単射）であるから、\(f'\)はバイジェクション（全単射）である、したがって、インバース（逆）\(f'^{-1}: f (T_1) \to T_1\)がある。
\(U \subseteq T_1\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\({f'^{-1}}^{-1} (U) = f' (U) = f (U) \subseteq T_2\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f\)はオープン（開）である。
\(f' (U) = f' (U) \cap f (U)\)、なぜなら、\(f' (U) \subseteq f (U)\)、いずれにせよ、そして、\(f' (U)\)は\(f (U)\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
したがって、\(f'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義に対する"注"によって。
したがって、\(f'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(f\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。
ステップ2:
\(f\)はクローズド（閉）であると仮定しよう。
\(f\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）\(f': T_1 \to f (T_1), t \mapsto f (t)\)のことを考えよう。
\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(f\)はインジェクション（単射）であるから、\(f'\)はバイジェクション（全単射）である、したがって、インバース（逆）\(f'^{-1}: f (T_1) \to T_1\)がある。
\(U \subseteq T_1\)を任意のクローズドサブセット（閉部分集合）としよう。
\({f'^{-1}}^{-1} (U) = f' (U) = f (U) \subseteq T_2\)はクローズド（閉）である、なぜなら、\(f\)はクローズド（閉）である。
\(f' (U) = f' (U) \cap f (U)\)、なぜなら、\(f' (U) \subseteq f (U)\)、いずれにせよ、そして、\(f' (U)\)は\(f (U)\)上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、\(f'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
したがって、\(f'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(f\)はコンティヌアス（連続）エンベディング（埋め込み）である。
