ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）でそのコンポーネントの中へのプロジェクション（射影）が非シングルカウンタブル（可算）であるものはコネクテッド（連結された）ではないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）でその任意のコンポーネントの中へのプロジェクション（射影）が非シングルカウンタブル（可算）であるものはコネクテッド（連結された）ではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(T\): \(\in \{\mathbb{R}^d \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(\pi_j\): \(: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}, (x^1, ..., x^d) \mapsto (x^j)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\pi_j (T) \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）セット（集合）たち }\} \land 1 \lt \vert \pi_j (T) \vert\)
\(\implies\)
\(T \notin \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たすある\(\{r_1, r_2\} \subseteq \pi_j (T)\)、つまり、\(r_1 \lt r_2\)、および以下を満たすある\(r \in \mathbb{R}\)、つまり、\(r_1 \lt r \lt r_2\)および\(r \notin \pi_j (T)\)、を取る; ステップ2: オープンサブセット（開部分集合）たち\(U'_1 := \mathbb{R}^{j - 1} \times (- \infty, r) \times \mathbb{R}^{d - j}, U'_2 := \mathbb{R}^{j - 1} \times (r, \infty) \times \mathbb{R}^{d - j} \subseteq \mathbb{R}^d\)を取り、\(T = (T \cap U'_1) \cup (T \cap U'_2)\)であることを見る; ステップ3: \(T \cap U'_l\)は、\(T\)の以下を満たすある非空オープンサブセット（開部分集合）、つまり、\((T \cap U'_1) \cap (T \cap U'_2) = \emptyset\)、であることを見る。
ステップ1:
以下を満たすある\(\{r_1, r_2\} \subseteq \pi_j (T)\)、つまり、\(r_1 \lt r_2\)、を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(1 \lt \vert \pi_j (T) \vert\)。
以下を満たすある\(r \in \mathbb{R}\)、つまり、\(r_1 \lt r \lt r_2\)および\(r \notin \pi_j (T)\)、がある、なぜなら、\(\pi_j (T)\)はカウンタブル（可算）である: インターバル（区間）\((r_1, r_2)\)は何らかのアンカウンタブル（不可算）ポイントたちを持つ（よく知られているとおり）、そして、カウンタブル（可算）\(\pi_j (T)\)は\((r_1, r_2)\)全体をカバーできない。
ステップ2:
サブセット（部分集合）たち\(U'_1 := \mathbb{R}^{j - 1} \times (- \infty, r) \times \mathbb{R}^{d - j}, U'_2 := \mathbb{R}^{j - 1} \times (r, \infty) \times \mathbb{R}^{d - j} \subseteq \mathbb{R}^d\)を取ろう。
それらは\(\mathbb{R}^d\)上でオープン（開）である、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって: \((- \infty, r)\)および\((r, \infty)\)は\(\mathbb{R}\)上でオープン（開）である。
\(T = T \cap (U'_1 \cup U'_2)\)、なぜなら、各\(t = (x^1, ..., x^j, ..., x^d) \in T\)に対して、\(x^j \in (- \infty, r)\)または\(x^j \in (r, \infty)\)、したがって、\(t \in U'_1\)または\(t \in U'_2\)。
\(= (T \cap U'_1) \cup (T \cap U'_2)\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
ステップ3:
\(T \cap U'_1 \neq \emptyset\)、なぜなら、\(r_1 \in (- \infty, r)\); \(T \cap U'_2 \neq \emptyset\)、同様に。
\(T \cap U'_1\)は\(T\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(U'_1\)は\(\mathbb{R}^d\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって; \(T \cap U'_2\)は\(T\)上でオープン（開）である、同様に。
\((T \cap U'_1) \cap (T \cap U'_2) = \emptyset\)、なぜなら、各\(t = (x^1, ..., x^j, ..., x^d) \in T \cap U'_1\)に対して、\(x^j \in (-\infty, r)\)、したがって、\(x^j \notin (r, \infty)\)、したがって、\(t \notin T \cap U'_2\)。
したがって、\(T\)はコネクテッド（連結された）でない。
