トポロジカルグループ（群）および\(2\)個のディスジョイント（互いに素）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）でコンパクトサブセット（部分集合）たちにネイバーフッド（近傍）を左からネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものたちがディスジョイント（互いに素）であるものがあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルグループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）およびその任意の2つのディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、ディスジョイント（互いに素な）オープン（開）サブセット（部分集合）たちでそれらの各々が当該コンパクトサブセット（部分集合）たちの内の1つを包含するものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））および任意のコンパクトサブセット（部分集合）で任意のオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものに対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該コンパクトサブセット（部分集合）に当該ネイバーフッド（近傍）を左から当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該オープンサブセット（開集合）内に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はシンメトリック（対称）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルグループ（群）および\(2\)個の任意のディスジョイント（互いに素）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該コンパクトサブセット（部分集合）たちに当該ネイバーフッド（近傍）を左から当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものたちがディスジョイント（互いに素）であるものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
\(K'\): \(\in \{G \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(K''\): \(\in \{G \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(K' \cap K'' = \emptyset\)
\(\implies\)
\(\exists N_1 \subseteq G \in \{1 \text{ の全てのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たち } \} (N_1 K' {N_1}^{-1} \cap N_1 K'' {N_1}^{-1} = \emptyset)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(K'\)および\(K''\)の以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U'\)および\(U''\)、つまり、\(U' \cap U'' = \emptyset\)、を取る; ステップ2: \(1\)の以下を満たす何らかのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たち\(N'_1\)および\(N''_1\)、つまり、\(N'_1 K' {N'_1}^{-1} \subseteq U'\)および\(N''_1 K'' {N''_1}^{-1} \subseteq U''\)、を取る; ステップ3: \(N_1 := N'_1 \cap N''_1\)を取り、\(N_1\)は\(1\)のシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）であり\(N_1 K' {N_1}^{-1} \cap N_1 K'' {N_1}^{-1} = \emptyset\)であることを見る。
ステップ1:
\(K'\)および\(K''\)の以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U' \subseteq G\)および\(U'' \subseteq G\)、つまり、\(K' \subseteq U'\)および\(K'' \subseteq U''\)および\(U' \cap U'' = \emptyset\)、がある、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）およびその任意の2つのディスジョイント（互いに素な）コンパクトサブセット（部分集合）たちに対して、ディスジョイント（互いに素な）オープン（開）サブセット（部分集合）たちでそれらの各々が当該コンパクトサブセット（部分集合）たちの内の1つを包含するものがあるという命題によって。
ステップ2:
\(1\)の以下を満たす何らかのシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）たち\(N'_1\)および\(N''_1\)、つまり、\(N'_1 K' {N'_1}^{-1} \subseteq U'\)および\(N''_1 K'' {N''_1}^{-1} \subseteq U''\)、がある、任意のグループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））および任意のコンパクトサブセット（部分集合）で任意のオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものに対して、\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）で当該コンパクトサブセット（部分集合）に当該ネイバーフッド（近傍）を左から当該ネイバーフッド（近傍）のインバース（逆）を右から掛けたものが当該オープンサブセット（開集合）内に包含されているものがあるという命題によって。
ステップ3:
\(N_1 := N'_1 \cap N''_1\)を取ろう。
\(N_1\)は\(1\)のあるシンメトリック（対称）ネイバーフッド（近傍）である、任意のグループ（群）に対して、任意のシンメトリック（対称）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はシンメトリック（対称）であるという命題および任意のトポロジカルスペース（空間）およびその任意のポイントに対して、当該ポイントのファイナイト（有限）個の任意のネイバーフッド（近傍）たちのインターセクション（共通集合）は当該ポイントのネイバーフッド（近傍）であるという命題によって。
\(N_1 \subseteq N'_1\)であるから、\(N_1 K' {N_1}^{-1} \subseteq N'_1 K' {N'_1}^{-1} \subseteq U'\)。
\(N_1 \subseteq N''_1\)であるから、\(N_1 K'' {N_1}^{-1} \subseteq N''_1 K'' {N''_1}^{-1} \subseteq U''\)。
したがって、\(N_1 K' {N_1}^{-1} \cap N_1 K'' {N_1}^{-1} \subseteq U' \cap U'' = \emptyset\)、それが含意するのは、\(N_1 K' {N_1}^{-1} \cap N_1 K'' {N_1}^{-1} = \emptyset\)。
