トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアスマップ（連続写像）に対して、ドメイン（定義域）のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）はコドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）の当該マップ（写像）の後のプリイメージ（前像）コンポジション（合成）は当該引数セット（集合）を含んでいるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）によるコンポジション（合成）は引数セット（集合）の中に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(K_1\): \(\in \{T_1 \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f (K_1) \in \{T_2 \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (K_1)\)の任意のオープンカバー（開被覆）\(\{U_j \vert j \in J'\}\)を取る; ステップ2: \(K_1 \subseteq \cup_{j \in J'} f^{-1} (U_j)\)であることを見る; ステップ3: 以下を満たすあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）\(J \subseteq J'\)、つまり、\(K_1 \subseteq \cup_{j \in J} f^{-1} (U_j)\)、を取る; ステップ4: \(f (K_1) \subseteq \cup_{j \in J} U_j\)であることを見る。
ステップ1:
\(\{U_j \vert j \in J'\}\)、ここで、\(J'\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、を\(f (K_1)\)の任意のオープンカバー（開被覆）としよう、それが意味するのは、\(f (K_1) \subseteq \cup_{j \in J'} U_j\)。
ステップ2:
\(f^{-1} (f (K_1)) \subseteq f^{-1} (\cup_{j \in J'} U_j)\)。
\(K_1 \subseteq f^{-1} (f (K_1))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意のサブセット（部分集合）の当該マップ（写像）の後のプリイメージ（前像）コンポジション（合成）は当該引数セット（集合）を含んでいるという命題によって。
\(f^{-1} (\cup_{j \in J'} U_j) = \cup_{j \in J'} f^{-1} (U_j)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）は、それらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
したがって、\(K_1 \subseteq \cup_{j \in J'} f^{-1} (U_j)\)。
\(f^{-1} (U_j) \subseteq T_1\)はオープン（開）である、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(\{f^{-1} (U_j) \vert j \in J'\}\)は\(K_1\)のオープンカバー（開被覆）である。
ステップ3:
\(K_1\)の当該オープンカバー（開被覆）のあるファイナイト（有限）サブカバーがある、なぜなら、\(K_1\)はコンパクトである、それが意味するのは、以下を満たすあるファイナイト（有限）\(J \subseteq J'\)、つまり、\(K_1 \subseteq \cup_{j \in J} f^{-1} (U_j)\)、があること。
ステップ4:
\(f (K_1) \subseteq f (\cup_{j \in J} f^{-1} (U_j)) = \cup_{j \in J} f (f^{-1} (U_j))\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(f (f^{-1} (U_j)) \subseteq U_j\)、任意のセット（集合）間マップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）の後のそのマップ（写像）によるコンポジション（合成）は引数セット（集合）の中に包含されているという命題によって。
したがって、\(f (K_1) \subseteq \cup_{j \in J} U_j\)。
それが意味するのは、\(\{U_j \vert j \in J\}\)は\(\{U_j \vert j \in J'\}\)のファイナイト（有限）サブカバーであること。
したがって、\(f (K_1)\)はコンパクトである。
