オープンインターバル（開区間）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でユークリディアンノルムを持つものの中へのディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対して、ポイントイメージ（像）のノルムは、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間ディファレンシャブルマップ（微分可能写像）によってアッパーバウンデッド（上から限られる）である、もしも、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間リプシッツマップ（写像）で特定コンディションたちを満たすものがある場合、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のオープンサブセット（開部分集合）からユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）でポイントにおいてディファレンシャブル（微分可能）であるものの定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）たち間のリプシッツマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックサブスペース（計量付き部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、当該ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を認めている。
- 読者は、任意のクローズドインターバル（閉区間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対する平均値定理を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオープンインターバル（開区間）から任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でユークリディアンノルムを持つものの中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対して、各ポイントイメージ（像）のノルムは、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間のあるディファレンシャブルマップ（微分可能写像）である初期コンディションを持つものによってアッパーバウンデッド（上から限られる）である、もしも、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間のあるリプシッツマップ（写像）で特定コンディションたちを満たすものがある場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)で、ユークリディアンメトリック（計量）を持ち、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアン } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体） }\)で、ユークリディアンノルムを持ち、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(J\): \(= (r_1, r_2) \subseteq \mathbb{R}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(r_0\): \(\in J\)
\(J'\): \(= [0, Max (\{\vert r_1 - r_0 \vert, \vert r_2 - r_0 \vert\})) \subseteq \mathbb{R}\)
\([0, \infty)\): \(\subseteq \mathbb{R}\)で、サブスペース（部分空間）メトリック（計量）を持つもの
\(f\): \(: J \to \mathbb{R}^d\), \(\in \{\text{ 全てのディファレンシャブルマップ（微分可能写像）たち }\}\)
\(g\): \(: J' \to [0, \infty)\), \(\in \{\text{ 全てのディファレンシャブルマップ（微分可能写像）たち }\}\)で、\(g (0) = \Vert f (r_0) \Vert\)を満たすもの
\(J''\): \(= [0, b) \subseteq \mathbb{R}\)で、サブスペース（部分空間）メトリック（計量）を持ち、\(\forall r \in J (\Vert f (r) \Vert \in J'')\)および\(\forall r \in J' (g (r) \in J'')\)、ここで、\(b \in (0, \infty]\)、を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists h: J'' \to [0, \infty) \in \{\text{ 全てのリプシッツマップ（写像）たちで、 } L \text{ を持つもの }\} (\forall r \in J (\Vert \partial_1 f (r) \Vert \le h (\Vert f (r) \Vert)) \land \forall r \in J' (\partial_1 g (r) = h (g (r))))\)
\(\implies\)
\(\forall r \in J (\Vert f (r) \Vert \le g (\vert r - r_0 \vert))\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: オープン（開）\(J^+ := \{r \in J \vert 0 \lt \Vert f (r) \Vert\}\)を取る; ステップ2: 各\(r \in J^+\)に対して、\(- h (\Vert f (r) \Vert) \le \partial_1 \Vert f (r) \Vert \le h (\Vert f (r) \Vert)\)であることを見る; ステップ3: 各\(r \in (r_1, r_2) \setminus J^+\)に対して、\(\Vert f (r) \Vert \le g (\vert r - r_0 \vert)\)であることを見る; ステップ4: 各\(r \in J^+ \cap [r_0, r_2)\)に対して、\(\Vert f (r) \Vert \le g (\vert r - r_0 \vert)\)であることを見る; ステップ5: 各\(r \in J^+ \cap (r_1, r_0]\)に対して、\(\Vert f (r) \Vert \le g (\vert r - r_0 \vert)\)であることを見る; ステップ6: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(J^+ := \{r \in J \vert 0 \lt \Vert f (r) \Vert\}\)としよう。
\(J^+ \subseteq \mathbb{R}\)はオープン（開）であることを見よう。
\(\Vert f (r) \Vert: J \to \mathbb{R}\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(f\)はコンティニュアス（連続）である、ディファレンシャブル（微分可能）であるから、そして、当該ノルムはコンティニュアス（連続）である、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ノルム付きリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものに対して、当該ノルムマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
したがって、\(\Vert f (r) \Vert^{-1} ((0, \infty)) \subseteq J\)はオープン（開）である、そして、\(\mathbb{R}\)上でオープン（開）である、任意のトポロジカルスペース（空間）およびそれをベーススペース（空間）としてオープン（開）である任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）に対して、サブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）はサブスペース（部分空間）上でオープン（開）である、もしも、それがベーススペース（空間）でオープン（開）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ2:
\(r \in J^+\)を任意のものとしよう。
\(\partial_1 \Vert f (r) \Vert = \partial_1 (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} (f^j (r))^2)^{1 / 2} = 1 / 2 (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} (f^j (r))^2)^{- 1 / 2} (\sum_{j \in \{1, ..., d\}} 2 f^j (r) \partial_1 f^j (r)) = 1 / (2 \Vert f (r) \Vert) 2 \langle f (r), \partial_1 f (r) \rangle = 1 / \Vert f (r) \Vert \langle f (r), \partial_1 f (r) \rangle\)。
\(\vert \langle f (r), \partial_1 f (r) \rangle \vert \le \Vert f (r) \Vert \Vert \partial_1 f (r) \Vert\)、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、したがって、\(- \Vert f (r) \Vert \Vert \partial_1 f (r) \Vert \le \langle f (r), \partial_1 f (r) \rangle \le \Vert f (r) \Vert \Vert \partial_1 f (r) \Vert\)。
したがって、\(- \Vert \partial_1 f (r) \Vert = - 1 / \Vert f (r) \Vert \Vert f (r) \Vert \Vert \partial_1 f (r) \Vert \le 1 / \Vert f (r) \Vert \langle f (r), \partial_1 f (r) \rangle = \partial_1 \Vert f (r) \Vert = 1 / \Vert f (r) \Vert \langle f (r), \partial_1 f (r) \rangle \le 1 / \Vert f (r) \Vert \Vert f (r) \Vert \Vert \partial_1 f (r) \Vert = \Vert \partial_1 f (r) \Vert\)。
したがって、\(- h (\Vert f (r) \Vert) \le \partial_1 \Vert f (r) \Vert \le h (\Vert f (r) \Vert)\)。
ステップ3:
各\(r \in (r_1, r_2) \setminus J^+\)に対して、\(\Vert f (r) \Vert = 0\)、したがって、\(\Vert f (r) \Vert = 0 \le g (\vert r - r_0 \vert)\)。
ステップ4:
各\(r \in J^+ \cap [r_0, r_2)\)に対して、\(\Vert f (r) \Vert \le g (\vert r - r_0 \vert)\)であることを見よう。
\(\phi: [r_0, r_2) \to \mathbb{R}, r \mapsto e^{- L (r - r_0)} (\Vert f (r) \Vert - g (r - r_0))\)のことを考えよう。
\(\phi (r_0) = e^{- L (r_0 - r_0)} (\Vert f (r_0) \Vert - g (r_0 - r_0)) = 1 (\Vert f (r_0) \Vert - g (0)) = 0\)。
\(\partial_1 \phi (r) = - L e^{- L (r - r_0)} (\Vert f (r) \Vert - g (r - r_0)) + e^{- L (r - r_0)} (\partial_1 \Vert f (r) \Vert - \partial_1 g (r - r_0)) \le - L e^{- L (r - r_0)} (\Vert f (r) \Vert - g (r - r_0)) + e^{- L (r - r_0)} (h (\Vert f (r) \Vert) - h (g (r - r_0))) = e^{- L (r - r_0)} (- L (\Vert f (r) \Vert - g (r - r_0)) + (h (\Vert f (r) \Vert) - h (g (r - r_0))))\)。
以下を満たすある\(s \in J^+ \cap [r_0, r_2)\)、つまり、\(0 \lt \phi (s)\)、があったと仮定しよう。
\(- L (\Vert f (s) \Vert - g (s - r_0)) + (h (\Vert f (s) \Vert) - h (g (s - r_0))) \le 0\)、なぜなら、\(h\)はあるリプシッツマップ（写像）で\(L\)を持つものであった: \(h (\Vert f (s) \Vert) - h (g (s - r_0)) \le \vert h (\Vert f (s) \Vert) - h (g (s - r_0)) \vert \le L \vert \Vert f (s) \Vert - g (s - r_0) \vert = L (\Vert f (s) \Vert - g (s - r_0))\)。
したがって、\(\partial_1 \phi (s) \le 0\)。
\(\{r \in [r_0, s] \vert \phi (r) \le 0\} \neq \emptyset\)、なぜなら、\(r_0\)はそこに属していた、そして、\(t := Sup (\{r \in [r_0, s] \vert \phi (r) \le 0\})\)を取ろう。
\(\phi (t) = 0\)であることを見よう。
\(t = r_0\)である時、\(\phi (t) = \phi (r_0) = 0\)。
そうでないと仮定しよう。
\(t \neq s\)、なぜなら、\(\phi\)はコンティニュアス（連続）であったから、以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(\phi ((s - \delta, s]) \subseteq (0, \infty)\)、があることになる、したがって、\(s - \delta / 2 \in Ub (\{r \in [r_0, s] \vert \phi (r) \le 0\})\)、したがって、\(s\)は\(Ub (\{r \in [r_0, s] \vert \phi (r) \le 0\})\)のミニマム（最小値）ではないことになる。
\(\phi ((t, s]) \subseteq (0, \infty)\)、なぜなら、そうでなければ、\(t\)は\(Ub (\{r \in [r_0, s] \vert \phi (r) \le 0\})\)内にないことになる。
もしも、\(0 \lt \phi (t)\)であったら、以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(\phi ((t - \delta, t + \delta)) \subseteq (0, \infty)\)、があることになる、しかし、\(t\)は\(Ub (\{r \in [r_0, s] \vert \phi (r) \le 0\})\)のミニマム（最小値）でないことになる、なぜなら、\(t - \delta / 2 \in Ub (\{r \in [r_0, s] \vert \phi (r) \le 0\})\)、矛盾、したがって、\(\phi (t) \le 0\)。
もしも、\(\phi (t) \lt 0\)であったら、以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(\phi ((t - \delta, t + \delta)) \subseteq (- \infty, 0)\)、があることになる、しかし、\(t\)は\(Ub (\{r \in [r_0, s] \vert \phi (r) \le 0\})\)内にないことになる、なぜなら、\(\phi (t + \delta / 2) \le 0\)、矛盾、したがって、\(0 \le \phi (t)\)。
したがって、\(\phi (t) = 0\)。
以下を満たすある\(r \in (t, s)\)、つまり、\(\partial_1 \phi (r) = (\phi (s) - \phi (t)) / (s - t)\)、があることになる、それはポジティブ（正）であることになる、任意のクローズドインターバル（閉区間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対する平均値定理によって、しかし、\(0 \lt \phi (r)\)、それが含意することになるのは、\(0 \lt \Vert f (r) \Vert\)、それが含意することになるのは、\(r \in J^+\)、\(r \in J^+ \cap [r_0, r_2)\)および\(0 \lt \phi (r)\)である時は常に\(\partial_1 \phi (r) \le 0\)であることに反する矛盾
したがって、そうした\(s \in J^+ \cap [r_0, r_2)\)はない。
したがって、\(\phi (r) \le 0\)、各\(r \in J^+ \cap [r_0, r_2)\)に対して。
それが含意するのは、\(\Vert f (r) \Vert \le g (\vert r - r_0 \vert)\)、各\(r \in J^+ \cap [r_0, r_2)\)に対して。
ステップ5:
各\(r \in J^+ \cap (r_1, r_0]\)に対して、\(\Vert f (r) \Vert \le g (\vert r - r_0 \vert)\)であることを見よう。
\(\phi: (r_1, r_0] \to \mathbb{R}, r \mapsto e^{- L (r_0 - r)} (\Vert f (r) \Vert - g (r_0 - r))\)のことを考えよう。
\(\phi (r_0) = e^{- L (r_0 - r_0)} (\Vert f (r_0) \Vert - g (r_0 - r_0)) = 1 (\Vert f (r_0) \Vert - g (0)) = 0\)。
\(\partial_1 \phi (r) = L e^{- L (r_0 - r)} (\Vert f (r) \Vert - g (r_0 - r)) + e^{- L (r_0 - r)} (\partial_1 \Vert f (r) \Vert + \partial_1 g (r_0 - r)) = e^{- L (r_0 - r)} (L (\Vert f (r) \Vert - g (r_0 - r)) + \partial_1 \Vert f (r) \Vert + \partial_1 g (r_0 - r))\)。
\(e^{- L (r_0 - r)} (L (\Vert f (r) \Vert - g (r_0 - r)) - h (\Vert f (r) \Vert) + h (g (r_0 - r))) \le e^{- L (r_0 - r)} (L (\Vert f (r) \Vert - g (r_0 - r)) + \partial_1 \Vert f (r) \Vert + \partial_1 g (r_0 - r))) = \partial_1 \phi (r)\)。
以下を満たすある\(s \in J^+ \cap (r_1, r_0]\)、つまり、\(0 \lt \phi (s)\)、があったと仮定しよう。
\(0 \le L (\Vert f (s) \Vert - g (r_0 - s)) - h (\Vert f (s) \Vert) + h (g (r_0 - s))\)、なぜなら、\(h\)はあるリプシッツマップ（写像）である: \(h (\Vert f (s) \Vert) - h (g (r_0 - s)) \le \vert h (\Vert f (s) \Vert) - h (g (r_0 - s)) \vert \le L \vert \Vert f (s) \Vert - g (r_0 - s) \vert = L (\Vert f (s) \Vert - g (r_0 - s))\)。
したがって、\(0 \le \partial_1 \phi (s)\)。
\(\{r \in [s, r_0] \vert \phi (r) \le 0\} \neq \emptyset\)、なぜなら、\(r_0\)はそこに属していた、そして、\(t := Inf (\{r \in [s, r_0] \vert \phi (r) \le 0\})\)を取ろう。
\(\phi (t) = 0\)であることを見よう。
\(t = r_0\)である時、\(\phi (t) = \phi (r_0) = 0\)。
そうでないと仮定しよう。
\(t \neq s\)、なぜなら、\(\phi\)はコンティニュアス（連続）であったから、以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(\phi ([s, s + \delta)) \subseteq (0, \infty)\)、があることになる、したがって、\(s + \delta / 2 \in Lb (\{r \in [s, r_0] \vert \phi (r) \le 0\})\)、したがって、\(s\)は\(Lb (\{r \in [s, r_0] \vert \phi (r) \le 0\})\)のマキシマム（最大値）でないことになる。
\(\phi ([s, t)) \subseteq (0, \infty)\)、なぜなら、そうでなければ、\(t\)は\(Lb (\{r \in [s, r_0] \vert \phi (r) \le 0\})\)内にないことになる。
もしも、\(0 \lt \phi (t)\)であったら、以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(\phi ((t - \delta, t + \delta)) \subseteq (0, \infty)\)、があることになる、しかし、\(t\)は\(Lb (\{r \in [s, r_0] \vert \phi (r) \le 0\})\)のマキシマム（最大値）ではないことになる、なぜなら、\(t + \delta / 2 \in Lb (\{r \in [s, r_0] \vert \phi (r) \le 0\})\)、矛盾、したがって、\(\phi (t) \le 0\)。
もしも、\(\phi (t) \lt 0\)であったら、以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)および\(\phi ((t - \delta, t + \delta)) \subseteq (- \infty, 0)\)、があることになる、しかし、\(t\)は\(Lb (\{r \in [s, r_0] \vert \phi (r) \le 0\})\)内にないことになる、なぜなら、\(\phi (t - \delta / 2) \le 0\)、矛盾、したがって、\(0 \le \phi (t)\)。
したがって、\(\phi (t) = 0\)。
以下を満たすある\(r \in (s, t)\)、つまり、\(\partial_1 \phi (r) = (\phi (t) - \phi (s)) / (t - s)\)、があることになる、それはネガティブ（負）であることになる、任意のクローズドインターバル（閉区間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対する平均値定理によって、しかし、\(0 \lt \phi (r)\)、それが含意することになるのは、\(0 \lt \Vert f (r) \Vert\)、それが含意することになるのは、\(r \in J^+\)、\(r \in J^+ \cap (r_1, r_0]\)および\(0 \lt \phi (r)\)である時は常に\(0 \le \partial_1 \phi (r)\)であることに反する矛盾
したがって、そうした\(s \in J^+ \cap (r_1, r_0]\)はない。
したがって、\(\phi (r) \le 0\)、各\(r \in J^+ \cap (r_1, r_0]\)に対して。
それが含意するのは、\(\Vert f (r) \Vert \le g (\vert r - r_0 \vert)\)、各\(r \in J^+ \cap (r_1, r_0]\)に対して。
ステップ6:
\((r_1, r_2) = ((r_1, r_2) \setminus J^+) \cup (J^+ \cap [r_0, r_2)) \cup (J^+ \cap (r_1, r_0])\)。
したがって、\(\Vert f (r) \Vert \le g (\vert r - r_0 \vert)\)、各\(r \in (r_1, r_2)\)に対して。
