メトリックスペース（計量付き空間）、オープンサブセット（開部分集合）、オープンサブセット（開部分集合）内に包含されるコンパクトサブセット（部分集合）に対して、ポジティブ（正）半径でコンパクトサブセット（部分集合）上の各ポイント周りオープン（開）またはクローズド（閉）ボール（球）はオープンサブセット（開部分集合）内に包含されるものがあることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイントの周りのオープンボール（開球）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のポイント周りのクローズドボール（閉球）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はコンパクトである、もしも、当該サブセット（部分集合）の中への各シーケンス（列）が当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内でコンバージ（収束）するあるサブシーケンス（部分列）を持つ場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がコンプリート（完備）であり各ポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して当該数半径の何らか有限数のオープンボール（開球）たちのセット（集合）で当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）をカバーするものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、任意のオープンサブセット（開部分集合）、当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含される任意のコンパクトサブセット（部分集合）に対して、あるポジティブ（正）半径で当該コンパクトサブセット（部分集合）上の各ポイント周りオープン（開）またはクローズド（閉）ボール（球）は当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されるものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(U\): \(\in \{M \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(K\): \(\in \{M \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)で、\(K \subseteq U\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \delta_0 \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \delta_0 (\forall k \in K (B_{k, \delta_0} \subseteq U))\)
\(\land\)
\(\exists \delta'_0 \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \lt \delta'_0 (\forall k \in K (B'_{k, \delta'_0} \subseteq U))\)、ここで、\(B'_{k, \delta'_0}\)はクローズドボール（閉球）
//
2: 証明
全体戦略: 任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はコンパクトである、もしも、当該サブセット（部分集合）の中への各シーケンス（列）が当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内でコンバージ（収束）するあるサブシーケンス（部分列）を持つ場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がコンプリート（完備）であり各ポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して当該数半径の何らか有限数のオープンボール（開球）たちのセット（集合）で当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）をカバーするものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する; ステップ1: そうした\(\delta_0\)がなかったと仮定し、矛盾を見つける; ステップ2: \(\delta'_0 \lt \delta_0\)を満たすtake \(\delta'_0\)を取る。
ステップ1:
そうした\(\delta_0\)はなかったと仮定しよう。
\(0 \lt \delta\)を満たす各\(\delta \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(k_\delta \in K\)、つまり、\(\lnot B_{k_\delta, \delta} \subseteq U\)、があることになる。
各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(\delta_j := 2^{- j}\)を取ろう。
\(s: \mathbb{N} \to K, j \mapsto k_{\delta_j}\)は、\(K\)の中へのあるシーケンス（列）であることになる。
\(K \subseteq M\)はコンパクトサブスペース（部分空間）であることになる、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
あるサブシーケンス（部分列）\(s \circ f\)、ここで、\(f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\)、である\(k \in K\)へコンバージ（収束）するものがあることになる、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はコンパクトである、もしも、当該サブセット（部分集合）の中への各シーケンス（列）が当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内でコンバージ（収束）するあるサブシーケンス（部分列）を持つ場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がコンプリート（完備）であり各ポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して当該数半径の何らか有限数のオープンボール（開球）たちのセット（集合）で当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）をカバーするものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
以下を満たすある\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)および\(B_{k, \epsilon} \subseteq U\)、があることになる、なぜなら、\(U\)はオープン（開）であった。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(s \circ f (j) \in B_{k, \epsilon / 2}\)、があることになる、なぜなら、\(s \circ f\)は\(k\)へコンバージ（収束）した。
以下を満たすある\(N' \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \le N'\)および\(N' \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(\delta_{f (j)} \lt \epsilon / 2\)、があることになる、なぜなら、\(\delta_{f (j)} = 2^{- f (j)}\)。
各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、あるポイント\(m_j \in B_{k_{\delta_{f (j)}}, \delta_{f (j)}} \setminus U\)があることになる、なぜなら、\(B_{k_{\delta_{f (j)}}, \delta_{f (j)}}\)は\(U\)内に包含されていなかった。
\(N' \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(dist (k, m_j) \le dist (k, k_{\delta_{f (j)}}) + dist (k_{\delta_{f (j)}}, m_j) \lt \epsilon / 2 + \delta_{f (j)} \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)、それが意味するのは、\(m_j \in B_{k, \epsilon} \subseteq U\)、\(m_j \in B_{k_{\delta_{f (j)}}, \delta_{f (j)}} \setminus U\)に反する矛盾。
したがって、当該仮定は誤りだった、そして、ある\(\delta_0\)がある。
ステップ2:
ある\(\delta_0\)がある、ステップ1によって。
\(\delta'_0 \in \mathbb{R}\)を以下を満たす任意のもの、つまり、\(0 \lt \delta'_0\)および\(\delta'_0 \lt \delta_0\)、としよう。
すると、各\(k \in K\)に対して、\(B'_{k, \delta'_0} \subseteq B_{k, \delta_0}\)。
したがって、\(B'_{k, \delta'_0} \subseteq B_{k, \delta_0} \subseteq U\)。
