トポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアスマップ（連続写像）たちのセット（集合）上において、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックであることはイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ドメイン（定義域）のサブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックなマップ（写像）たちの定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）上のイクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
- 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間コンティニュアスマップ（連続写像）たちのセット（集合）上において、当該ドメイン（定義域）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）へレラティブ（相対的）にホモトピックであることはあるイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(= \{f: T_1 \to T_2: f \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\}\)
\(S_1\): \(\subseteq T_1\)
\(\sim\): \(\subseteq S \times S\), \(\in \{\text{ 全てのリレーション（関係）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall f_1, f_2 \in S (f_1 \sim f_2 \iff f_1 \simeq f_2 rel S_1)\)、ここで、\(\simeq rel\)はレラティブ（相対的）にホモトピックであることを意味する
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sim \in \{\text{ 全てのイクイバレンスリレーション（同値関係）たち }\}\)
//
2: 注
\(f, f' \in S\)で\(f \sim f'\)を満たす各々に対して、\(f (S_1) = f' (S_1)\)、なぜなら、各\(s_1 \in S_1\)に対して、\(f (s_1) = f' (s_1)\)。
任意の\(S_2 \subseteq T_2\)に対して、\(S^` := \{f: T_1 \to T_2: f \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\} \vert f (S_1) = S_2\}\)は\(S\)のあるサブセット（部分集合）であり、\(S^`\)はサブセット（部分集合）イクイバレンスリレーション（同値関係）を持つ。
\(S^`\)は、\(S\)の何らかのイクイバレンス（同値）クラスたちを選ぶ、それが意味するのは、各\(f \in S^`\)に対して、\([f] \subseteq S^`\)。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(\sim\) satisfies the 3 requirements to be an equivalence relation.
Step 1:
1) \(\forall f \in S (f \sim f)\): reflexivity: let \(F: T_1 \times I \to T_2, (t, r) \mapsto f (t)\), which is continuous, because as \(f\) is continuous, for each open neighborhood of \(f (t)\), \(U_{f (t)} \subseteq T_2\), there is an open neighborhood of \(t\), \(U_t \subseteq T_1\), such that \(f (U_t) \subseteq U_{f (t)}\), and \(U_t \times I \subseteq T_1 \times I\) is an open neighborhood of \((t, r)\) and \(F (U_t \times I) \subseteq U_{f (t)}\); \(F (t, 0) = f (t)\) and \(F (t, 1) = f (t)\); for each \(s_1 \in S_1\) and each \(j \in I\), \(F (s_1, j) = f (s_1) = f (s_1)\).
2) \(\forall f_1, f_2 \in S (f_1 \sim f_2 \implies f_2 \sim f_1)\): symmetry: there is a continuous \(F: T_1 \times I \to T_2\) such that \(F (t, 0) = f_1 (t)\) and \(F (t, 1) = f_2 (t)\) and \(F (s_1, j) = f_1 (s_1) = f_2 (s_1)\) for each \(s_1 \in S_1\) and each \(j \in I\); let \(F': T_1 \times I \to T_2, (t, j) \mapsto F (t, 1 - j)\), which is continuous, because \(F' = F \circ (id, g)\) where \(g: I \to I, j \mapsto 1 - j\) and \(id\) and \(g\) are obviously continuous and \((id, g)\) is continuous, by the proposition that the product map of any finite number of continuous maps is continuous by the product topologies, and the composition is continuous, by the proposition that for any maps between any arbitrary subspaces of any topological spaces continuous at any corresponding points, the composition is continuous at the point; \(F' (t, 0) = F (t, 1) = f_2 (t)\) and \(F' (t, 1) = F (t, 0) = f_1 (t)\) and \(F' (s_1, j) = F (s_1, 1 - j) = f_1 (s_1) = f_2 (s_1)\) for each \(s_1 \in S_1\) and each \(j \in I\).
3) \(\forall f_1, f_2, f_3 \in S ((f_1 \sim f_2 \land f_2 \sim f_3)\implies f_1 \sim f_3)\): transitivity: there are a continuous \(F_1: T_1 \times I \to T_2\) such that \(F_1 (t, 0) = f_1 (t)\), \(F_1 (t, 1) = f_2 (t)\), and \(\forall s_1 \in S_1 (F_1 (s_1, j) = f_1 (s_1) = f_2 (s_1))\) and a continuous \(F_2: T_1 \times I \to T_2\) such that \(F_2 (t, 0) = f_2 (t)\), \(F_2 (t, 1) = f_3 (t)\), and \(\forall s_1 \in S_1 (F_2 (s_1, j) = f_2 (s_1) = f_3 (s_1))\); let us define \(F_3: T_1 \times I \to T_2\) as over \(T_1 \times [0, 1 / 2]\), \(= F_1 (t, 2 j)\), and over \(T_1 \times [1 / 2, 1]\), \(= F_2 (t, 2 (j - 1 / 2))\), which is well-defined, because while \(\{T_1 \times [0, 1 / 2], T_1 \times [1 / 2, 1]\}\) is a closed cover of \(T_1 \times I\), \(F_3\) is consistent because \(F_3 (t, 1 / 2) = F_1 (t, 1) = f_2 (t) = F_2 (t, 0)\), and \(F_3\) is continuous on \(T_1 \times [0, 1 / 2]\) and \(T_1 \times [1 / 2, 1]\), because \(F_1 (t, 2 j) = F_1 \circ (id, g)\) where \(g: [0, 1 / 2] \to [0, 1], j \mapsto 2 j\) and \(F_2 (t, 2 (j - 1 / 2)) = F_2 \circ (id, h)\) where \(h: [1 / 2, 1] \to [0, 1], j \to 2 (j - 1 / 2)\), and \(F_3\) is continuous, by the proposition that any map between topological spaces is continuous if the domain restriction of the map to each closed set of a finite closed cover is continuous; \(F_3 (t, 0) = F_1 (t, 0) = f_1 (t)\), \(F_3 (t, 1) = F_2 (t, 1) = f_3 (t)\), and for each \(s_1 \in S_1\), for each \(j \in [0, 1 / 2]\), \(F_3 (s_1, j) = F_1 (s_1, 2 j) = f_1 (s_1) = f_2 (s_1) = f_3 (s_1)\) and for \(j \in [1 / 2, 1]\), \(F_3 (s_1, j) = F_2 (s_1, 2 (j - 1 / 2)) = f_2 (s_1) = f_3 (s_1)\), but \(f_1 (s_1) = f_2 (s_1)\), so, for each \(j \in I\), \(F_3 (s_1, j) = f_1 (s_1) = f_3 (s_1)\).
