モジュール（加群）たちで同一カーディナリティ（濃度）ベーシス（基底）たちを持つものたち間リニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）はバイジェクション（全単射）である、もしも、対応するマトリックス（行列）がインバーティブル（可逆）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、\(n \times n\)リング（環）マトリックス（行列）たちのリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
- 読者は、任意の同一リング（環）上方の任意のモジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものから任意のモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_2 \times d_1\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(n \times n\)リング（環）マトリックス（行列）に対して、もしも、当該マトリックス（行列）に各列または行を掛けたものが元の列または行である場合、そしてその場合に限って、当該マトリックス（行列）はアイデンティティ（単位行列）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）はあるバイジェクション（全単射）である、もしも、それは、あるインバース（逆）を持つ場合、そして、その場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のモジュール（加群）たちで任意の同一カーディナリティ（濃度）ベーシス（基底）たちを持つものたち間任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はあるバイジェクション（全単射）である、もしも、当該ベーシス（基底）たちに関する対応するマトリックス（行列）がインバーティブル（可逆）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち } \}\)で、任意のベーシス（基底）\(B_1 = \{{b_1}^1, ..., {b_1}^d\}\)を持つもの
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち } \}\)で、任意のベーシス（基底）\(B_2 = \{{b_2}^1, ..., {b_2}^d\}\)を持つもの
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(M\): \(\in M_n (R)\), \(= \(f\) \text{ に対応する } \(B_1\)および\(B_2\)に関する\text{ マトリックス（行列） }\)、任意の同一リング（環）上方の任意のモジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つものから任意のモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_2 \times d_1\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題内で定義された
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
\(\iff\)
\(M \in \{\text{ 全てのインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 0: see what \(M\) is; Step 1: suppose that \(f\) is a bijection; Step 2: see that \(M\) is invertible; Step 3: suppose that \(M\) is invertible; Step 4: see that \(f\) is a bijection.
Step 0:
As \(f\) is linear, \(f\) is represented by \(M\), by the proposition that for any map from any module with any \(d_1\)-elements basis into any module with any \(d_2\)-elements basis over any same ring, the map is linear if and only if the map is represented by the \(d_1 \times d_2\) ring matrix.
\(M\) is determined by that \(f ({b_1}^j) = M^j_l {b_2}^l\).
Step 1:
Let us suppose that \(f\) is a bijection.
Step 2:
\(f\) is a 'modules - linear morphisms' isomorphism, by the proposition that any bijective linear map between any modules is a 'modules - linear morphisms' isomorphism.
So, there is the linear inverse, \(f^{- 1}: M_2 \to M_1\).
As \(f^{- 1}\) is linear, \(f^{- 1}\) is represented by an \(M' \in M_n (R)\), by the proposition that for any map from any module with any \(d_1\)-elements basis into any module with any \(d_2\)-elements basis over any same ring, the map is linear if and only if the map is represented by the \(d_1 \times d_2\) ring matrix.
As \(f^{- 1} \circ f = id_{M_1}\) is linear, \(f^{- 1} \circ f\) is represented by an \(M'' \in M_n (R)\), by the proposition that for any map from any module with any \(d_1\)-elements basis into any module with any \(d_2\)-elements basis over any same ring, the map is linear if and only if the map is represented by the \(d_1 \times d_2\) ring matrix.
\(f^{- 1} \circ f (m_1) = f^{- 1} \circ f ({m_1}_j {b_1}^j) = {m_1}_j M''^j_l {b_1}^l\), but it equals \(id_{M_1} (m_1) = m_1 = {m_1}_l {b_1}^l\), which means that \({m_1}_j M''^j_l = {m_1}_l\), which means that \({m_1}^t M'' = {m_1}^t\), so, \(M'' = I\), by the proposition that for any \(n \times n\) ring matrix, if and only if the matrix multiplied by each column or row is the original column or row, the matrix is the identity.
On the other hand, \(f^{- 1} \circ f (m_1) = f^{- 1} (f (m_1)) = f^{- 1} (f ({m_1}_j {b_1}^j)) = f^{- 1} ({m_1}_j M^j_l {b_2}^l) = {m_1}_j M^j_l M'^l_p {b_1}^p\), which means that \({m_1}_j M''^j_p = {m_1}_j M^j_l M'^l_p\), which implies that \(M''^j_p = M^j_l M'^l_p\) (take \({m_1}_j = 1\) and the other components \(0\)), which means that \(M'' = M M'\).
So, \(M M' = I\).
As \(f \circ f^{- 1} = id_{M_2}\) is linear, \(f \circ f^{- 1}\) is represented by an \(M'' \in M_n (R)\), by the proposition that for any map from any module with any \(d_1\)-elements basis into any module with any \(d_2\)-elements basis over any same ring, the map is linear if and only if the map is represented by the \(d_1 \times d_2\) ring matrix.
\(f \circ f^{- 1} (m_2) = f \circ f^{- 1} ({m_2}_j {b_2}^j) = {m_2}_j M''^j_l {b_2}^l\), but it equals \(id_{M_2} (m_2) = m_2 = {m_2}_l {b_2}^l\), which means that \({m_2}_j M''^j_l = {m_2}_l\), which means that \({m_2} M'' = {m_2}\), so, \(M'' = I\), by the proposition that for any \(n \times n\) ring matrix, if and only if the matrix multiplied by each column or row is the original column or row, the matrix is the identity.
On the other hand, \(f \circ f^{- 1} (m_2) = f (f^{- 1} (m_2)) = f (f^{- 1} ({m_2}_j {b_2}^j)) = f ({m_2}_j M'^j_l {b_1}^l) = {m_2}_j M'^j_l M^l_p {b_2}^p\), which means that \({m_2}_j M''^j_p = {m_2}_j M'^j_l M^l_p\), which implies that \(M''^j_p = M'^j_l M^l_p\) (take \({m_2}_j = 1\) and the other components \(0\)), which means that \(M'' = M' M\).
So, \(M' M = I\).
So, \(M\) is invertible with the inverse, \(M'\).
Step 3:
Let us suppose that \(M\) is invertible.
Step 4:
There is an \(M' \in M_n (R)\) such that \(M' M = I\) and \(M M' = I\).
\(f': M_2 \to M_1\) defined as \(f' ({m_2}_j {b_2}^j) = {m_2}_j M'^j_l {b_1}^l\) is linear, by the proposition that for any map from any module with any \(d_1\)-elements basis into any module with any \(d_2\)-elements basis over any same ring, the map is linear if and only if the map is represented by the \(d_1 \times d_2\) ring matrix.
\(f' \circ f (m_1) = f' (f (m_1)) = f' (f ({m_1}_j {b_1}^j)) = f' ({m_1}_j M^j_l {b_2}^l) = {m_1}_j M^j_l M'^l_p {b_1}^p = {m_1}_j (M M')^j_p {b_1}^p = {m_1}_j I^j_p {b_1}^p = {m_1}_j {b_1}^j = m_1\), which means that \(f' \circ f = id_{M_1}\).
\(f \circ f' (m_2) = f (f' (m_2)) = f (f' ({m_2}_j {b_2}^j)) = f ({m_2}_j M'^j_l {b_1}^l) = {m_2}_j M'^j_l M^l_p {b_2}^p = {m_2}_j (M' M)^j_p {b_2}^p = {m_2}_j I^j_p {b_2}^p = {m_2}_j {b_2}^j = m_2\), which means that \(f \circ f' = id_{M_2}\).
So, \(f'\) is an inverse of \(f\).
\(f\) is a bijection, by the proposition that any map is a bijection if and only if it has an inverse.
