モジュール（加群）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義
話題
About: モジュール（加群）
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、バイジェクション（全単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(*GL (M)\): \(= \{f: M \to M \vert f \in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\} \cap \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\}\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で、以下に指定されるグループ（群）オペレーション\(g\)を持つもの
//
コンディションたち:
\(g: GL (M) \times GL (M) \to GL (M), (f_1, f_2) \mapsto f_1 \circ f_2\)
//
2: 注
それは、本当にあるグループ（群）である、なぜなら、任意の要素たち\(f_1, f_2, f_3 \in GL (M)\)に対して、1) \((f_1 \bullet f_2) \bullet f_3 = f_1 \bullet (f_2 \bullet f_3)\)、マップ（写像）たちのコンポジション（合成）の定義に対する"注"によって; 2) 当該アイデンティティマップ（恒等写像）\(id: M \to M\)は\(GL (M)\)内にあり、アイデンティティ（恒等）要素である、なぜなら、\(id \bullet f_1 = f_1 \bullet id = f_1\); 3) \(f_1\)はインバース（逆）\(f_1^{-1}: M \to M\)を持つ、任意のモジュール（加群）たち間の任意のバイジェクティブ（全単射）リニアマップ（線形写像）は'モジュール（加群）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、それは、\(GL (M)\)内にある、なぜなら、それは、リニア（線形）でバイジェクティブ（全単射）である、なぜなら、それは、インバース（逆）\(f_1\)を持つ、そして、任意のマップ（写像）はあるバイジェクション（全単射）である、もしも、それは、あるインバース（逆）を持つ場合、そして、その場合に限って、という命題が適用される。
ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）が既に定義されているところ、実のところ、そのベクトルたちスペース（空間）は本当にあるベクトルたちスペース（空間）である必要はなく、あるモジュール（加群）でよい。
