リング（環）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトモジュール（加群）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、リング（環）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトモジュール（加群）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\( n_1\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( n_2\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( R^{n_1}\): \(= \text{ 当該 } R \text{ モジュール（加群）でカノニカル（正典） } n_1 \text{ -要素たちベーシス（基底）を持つもの }\)
\( R^{n_2}\): \(= \text{ 当該 } R \text{ モジュール（加群）でカノニカル（正典） } n_2 \text{ -要素たちベーシス（基底）を持つもの }\)
\( B_1\): \(= \{b_1^1, ..., b_1^{n_1}\}\), \(= R^{n_1} \text{ のカノニカル（正典）ベーシス（基底） }\)
\( B_2\): \(= \{b_2^1, ..., b_2^{n_2}\}\), \(= R^{n_2} \text{ のカノニカル（正典）ベーシス（基底） }\)
\( f\): \(: R^{n_1} \to R^{n_2}\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(*M\): \(\in \{\text{ 全ての } n_1 \times n_2 R \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(M^j_l = f ({b_1}^j)_l\)
//
コンディションたち:
//
"カノニカル（正典）ベーシス（基底）"は、\({b_m}^j = (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)\)、ここで、\(1\)は、\(j\)-番目コンポーネント、を意味する。
2: 注
\(R^{n_m}\)は、本当にある\(R\)モジュール（加群）でカノニカル（正典）ベーシス（基底）を持つものである、任意のリング（環）はカノニカル（正典）にあるモジュール（加群）で、ある\(1\)-要素ベーシス（基底）を持つという命題およびモジュール（加群）たちでベーシス（基底）たちを持つものたちの任意のファイナイト（有限）プロダクトモジュール（加群）はこのベーシス（基底）を持つという命題によって。
\(M\)は、本当に\(f\)を代表する、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
