ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ODEで初期コンディションを持つものに対するローカルユニーク解存在の記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のポイントにおけるデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、任意のパーシャリーオーダードリング（半順序環）、任意のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちで任意の同一インデックスセット（集合）を持つものたち、当該サブセット（部分集合）たちの合計としてのサブセット（部分集合）で同じインデックスセット（集合）を持つものに対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちが存在する場合、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計は当該サブセット（部分集合）のあるアッパーバウンド（上限）であり、もしも、その上に当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちが存在する場合、当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計は当該サブセット（部分集合）のあるローワーバウンド（下限）であり、もしも、その上に当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計に等しいかそれより大きいという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）から任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）はユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、当該コンバージェンス（収束マップ（写像））はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）は当該ノルムたちによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）としてコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、コントラクション（収斂）マッピングの法則を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）である初期コンディションを持つものに対するあるクローズドインターバルドメイン（閉区間定義域）に対するローカルユニーク解存在、当該解のドメイン（定義域）エリアのある明確化を持って、の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)
\(x_0\): \(\in \mathbb{R}^d\)
\(B_{x_0, K}\): \(\subseteq \mathbb{R}^d\)
\(r_0\): \(\in \mathbb{R}\)
\(J\): \(= [r_0 - \epsilon_1, r_0 + \epsilon_2] \subseteq \mathbb{R}\)
\(f\): \(: B_{x_0, K} \times J \to \mathbb{R}^d\), \(\in \{\text{ 全ての } C^0 \text{ マップ（写像）たち }\}\)で、\(\forall x_1, x_2 \in B_{x_0, K}, \forall r \in J (\Vert f (x_1, r) - f (x_2, r) \Vert \le L \Vert x_1 - x_2 \Vert)\)を満たすもの
\(M\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(Sup (\{\Vert f (x, r) \Vert \vert x \in B_{x_0, K}, r \in J\} \le M\)を満たすもの
\(p\): \(\in \mathbb{R}\)で、\(0 \le p \lt 1\)を満たすもの
\(B_{x_0, p K}\): \(\subseteq \mathbb{R}^d\)
\(x'_0\): \(\in B_{x_0, p K}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\epsilon_j \le (1 - p) K / M \land \epsilon_j \lt L^{-1}\)
\(\implies\)
\(d x / d r = f (x, r)\)で\(x (r_0) = x'_0\)、は、ユニークな\(C^1\)解\(x: J \to B_{x_0, K}\)を持つ
//
2: 注
それは、"ローカル解"と呼ばれる、なぜなら、通常、\(f\)は元々はあるより広いエリア内で定義されていて、\(B_{x_0, K}\)および\(J\)は当該解のために選ばれた。
\(f\)が\(B_{x_0, K} \times J\)上でリプシッツ評価を満たし、\(\Vert f (x, r) \Vert\)はそこでアッパーバウンデッド（上に有界）である時、\(\epsilon_j\)たちは、当該不等号たちを満たすように選ぶことが常にできるなぜなら、もしも、ある\(J\)に対して\(L\)および\(M\)が選ばれた後に当該不等号たちが成立しない時は、あるより狭いインターバル\(J'\)を、それら\(L\)および\(M\)を動かすことなく、当該不等号たちを満たすように選ぶことができる、なぜなら、\(L\)および\(M\)は、当該より狭いドメイン（定義域）に対してより大きくある必要はない。
\(J\)は\(x_0\)および\(K\)の選択たちに依存する、なぜなら、それらは、\(K\)、\(M\)、\(L\)を変える。
それが、なぜ、あるインターバル（区間）内の各ポイントにおけるローカル存在が、当該インターバル（区間）全体に対するグローバル解存在を保証しないかの理由である（別の命題を参照のこと）。
ひと度、\(x_0\)、\(K\)、\(p\)が決定されると、\(J\)は\(x'_0\)の選択に依存しない: \(K\)、\(M\)、\(L\)、\(p\)は、\(x'_0\)の選択によって変更されない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(d x / d r = f (x, r)\)で\(x (r_0) = x'_0\)であることは、\(x (r) = x'_0 + \int^r_{r_0} f (x (s), s) d s\)に等しいことを見る; ステップ2: \(Y := \{y: J \to B_{x_0, K} \in \{\text{ 全ての } C^0 \text{ マップ（写像）たち }\} \vert y (r_0) = x'_0\}\)でメトリック（計量）\(dist: Y \times Y \to \mathbb{R}, (y_1, y_2) \mapsto Sup (\{\Vert y_1 (r) - y_2 (r) \Vert \vert r \in J\})\)を持つもの定義し、\(Y\)はコンプリートメトリックスペース（完備計量付き空間）であることを見る; ステップ3: \(g: Y \to Y, y \mapsto x'_0 + \int^r_{r_0} f (y (s), s) d s\)を定義し、\(g\)あるコントラクション（収斂）であることを見、ユニークなフィックス（固定された）ポイント\(x\)を取る; ステップ4: \(x\)がユニーク解であることを見る。
ステップ1:
\(d x / d r = f (x, r)\)で\(x (r_0) = x'_0\)であることは、\(x (r) = x'_0 + \int^r_{r_0} f (x (s), s) d s\)に等しいことを見よう。
それは、もしも、任意の\(x: J \to B_{x_0, K}\)が一方を満たす場合、\(x\)は他方も満たすという問題である。
\(d x / d r = f (x, r)\)で\(x (r_0) = x'_0\)であると仮定しよう。
\(d x / d r\)が存在するので、\(x (r)\)はコンティニュアス（連続）である、そして、\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(f (x (r), r)\)は\(r\)に関してコンティニュアス（連続）である、したがって、インテグラル（積分）\(\int^s_{r_0} d x / d r d r = \int^s_{r_0} f (x (r), r) d r\)を取ることができ、その左辺は、\(x (s) - x (r_0) = x (s) - x'_0\)である、したがって、\(x (s) = x'_0 + \int^s_{r_0} f (x (r), r) d r\)、それは、\(x (r) = x'_0 + \int^r_{r_0} f (x (s), s) d s\)に他ならない。
\(x (r) = x'_0 + \int^r_{r_0} f (x (s), s) d s\)であると仮定しよう。
\(x (r)\)はディファレンシャブル（微分可能）である、そして、\(d x (r) / d r = d (x'_0 + \int^r_{r_0} f (x (s), s) d s) / d r = f (x (r), r)\)、そして、\(x (r_0) = x'_0 + \int^{r_0}_{r_0} f (x (s), s) d s = x'_0\)。
ステップ2:
\(Y := \{y: J \to B_{x_0, K} \in \{\text{ 全ての } C^0 \text{ マップ（写像）たち }\} \vert y (r_0) = x'_0\}\)を定義しよう。
\(Y\)にあるメトリック（計量）\(dist: Y \times Y \to \mathbb{R}, (y_1, y_2) \mapsto Sup (\{\Vert y_1 (r) - y_2 (r) \Vert \vert r \in J\})\)を与えよう、それは妥当である、なぜなら、\(y_j\)は\(B_{x_0, K}\)の中へのものである。
\(dist\)は本当にあるメトリック（計量）であることを見よう。
\(y_1, y_2, y_3 \in Y\)を任意のものとしよう。
1) \(0 \le dist (y_1, y_2)\)で、当該等号は成立する、もしも、\(y_1 = y_2\)である場合、そしてその場合に限って: \(0 \le Sup (\{\Vert y_1 (r) - y_2 (r) \Vert \vert r \in J\})\); もしも、\(y_1 = y_2\)である場合、\(Sup (\{\Vert y_1 (r) - y_2 (r) \Vert \vert r \in J\}) = Sup (\{\Vert 0 \Vert \vert r \in J\}) = Sup (\{0 \vert r \in J\}) = 0\); もしも、\(Sup (\{\Vert y_1 (r) - y_2 (r) \Vert \vert r \in J\}) = 0\)である場合、\(\Vert y_1 (r) - y_2 (r) \Vert = 0\)、各\(r \in J\)に対して、したがって、\(y_1 (r) - y_2 (r) = 0\)、各\(r \in J\)に対して、したがって、\(y_1 = y_2\)。
2) \(dist (y_1, y_2) = dist (y_2, y_1)\): \(Sup (\{\Vert y_1 (r) - y_2 (r) \Vert \vert r \in J\}) = Sup (\{\Vert y_2 (r) - y_1 (r) \Vert \vert r \in J\})\)。
3) \(dist (y_1, y_3) \le dist (y_1, y_2) + dist (y_2, y_3)\): \(dist (y_1, y_3) = Sup (\{\Vert y_1 (r) - y_3 (r) \Vert \vert r \in J\}) = Sup (\{\Vert y_1 (r) - y_2 (r) + y_2 (r) - y_3 (r) \Vert \vert r \in J\}) \le Sup (\{\Vert y_1 (r) - y_2 (r) \Vert + \Vert y_2 (r) - y_3 (r) \Vert \vert r \in J\}) \le Sup (\{\Vert y_1 (r) - y_2 (r) \Vert \vert r \in J\}) + Sup (\{\Vert y_2 (r) - y_3 (r) \Vert \vert r \in J\})\)、任意のパーシャリーオーダードリング（半順序環）、任意のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちで任意の同一インデックスセット（集合）を持つものたち、当該サブセット（部分集合）たちの合計としてのサブセット（部分集合）で同じインデックスセット（集合）を持つものに対して、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちが存在する場合、当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計は当該サブセット（部分集合）のあるアッパーバウンド（上限）であり、もしも、その上に当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）は当該サブセット（部分集合）たちのサプリマム（上限）たちの合計に等しいかそれより小さく、もしも、当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちが存在する場合、当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計は当該サブセット（部分集合）のあるローワーバウンド（下限）であり、もしも、その上に当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）が存在する場合、当該サブセット（部分集合）のインフィマム（下限）は当該サブセット（部分集合）たちのインフィマム（下限）たちの合計に等しいかそれより大きいという命題によって、\(= dist (y_1, y_2) + dist (y_2, y_3)\)。
\(dist\)はコンプリート（完備）であることを見よう。
\(s: \mathbb{N} \to Y\)を任意のコーシーシーケンス（列）としよう。
\(\epsilon \in \mathbb{R}\)を、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意のものとしよう。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt j, l\)を満たす各\(j, l \in \mathbb{N}\) に対して、\(dist (s (j), s (l)) \lt \epsilon\)。
各\(r \in J\)に対して、\(\Vert s (j) (r) - s (l) (r) \Vert \le Sup (\{\Vert s (j) (r) - s (l) (r) \Vert \vert r \in J\}) = dist (s (j), s (l)) \lt \epsilon\)、それが意味するのは、\(s_r: \mathbb{N} \to \mathbb{R}^d, j \mapsto s (j) (r)\)はあるコーシーシーケンス（列）であること、そして、\(\mathbb{R}^d\)で当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つものはコンプリート（完備）である（よく知られているとおり）から、\(s_r\)は\(\mathbb{R}^d\)上のあるポイントへコンバージ（収束）する、それは、マップ（写像）\(y: J \to \mathbb{R}^d\)をインデュース（誘導）する。
\(\Vert y (r) - x_0 \Vert = \Vert y (r) - s (j) (r) + s (j) (r) - x_0 \Vert \le \Vert y (r) - s (j) (r) \Vert + \Vert s (j) (r) - x_0 \Vert = \Vert y (r) - s (j) (r) \Vert + K - \epsilon'\)、\(0 \lt \epsilon'\)を満たすある\(\epsilon' \in \mathbb{R}\)に対して、しかし、以下を満たすある\(N' \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N' \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して, \(\Vert y (r) - s (j) (r) \Vert \lt \epsilon'\)、そして、任意のそうした\(j\)を取ることによって、\(\lt \epsilon' + K - \epsilon' = K\)。したがって、\(y\)は\(B_{x_0, K}\)の中へのものである。
\(\Vert s (j) (r) - s (l) (r) \Vert \le Sup (\{\Vert s (j) (r) - s (l) (r) \Vert \vert r \in J\}) \lt \epsilon\)、それが意味するのは、\(s\)はユニフォーム（一様）にコーシーなシーケンス（列）であること、したがって、\(s\)はユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）する、任意のセット（集合）から任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）はユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）するという命題によって、したがって、\(y\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、当該コンバージェンス（収束マップ（写像））はコンティニュアス（連続）であるという命題および任意のノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）は当該ノルムたちによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）たちによってインデュースト（誘導された）トポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）としてコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(y (r_0) = x'_0\)、なぜなら、\(s (j) (r_0) = x'_0\)、各\(j\)に対して。
したがって、\(y \in Y\)。
\(s\)は\(y\)へコンバージ（収束）する、なぜなら、\(dist (s (j), y) = Sup (\{\Vert s (j) (r) - y (r) \Vert \vert r \in J\})\)、しかし、\(0 \lt \epsilon\)を満たす任意の\(\epsilon \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)に対して、\(\Vert s (j) (r) - y (r) \Vert \lt \epsilon / 2\)、各\(r \in J\)に対して、なぜなら、\(s\)は\(y\)へユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）する、したがって、\(\le Sup (\{\epsilon / 2 \vert r \in J\}) = \epsilon / 2 \lt \epsilon\)。
したがって、\(Y\)はコンプリート（完備）である。
ステップ3:
\(g: Y \to Y, y \mapsto x'_0 + \int^r_{r_0} f (y (s), s) d s\)を定義しよう。
\(g\)は確かに\(Y\)の中へのものである、なぜなら、\(\Vert (g (y)) (r) - x_0 \Vert = \Vert x'_0 - x_0 + \int^r_{r_0} f (y (s), s) d s \Vert \le \Vert x'_0 - x_0 \Vert + \Vert \int^r_{r_0} f (y (s), s) d s \Vert \lt p K + \vert \int^r_{r_0} \Vert f (y (s), s) \Vert d s \vert \le p K + \vert \int^r_{r_0} M d s \vert \le p K + M \epsilon_j \le p K + M (1 - p) K / M = K\); \(g (y)\)はコンティニュアス（連続）である、そして、\(g (y) (r_0) = x'_0 + \int^{r_0}_{r_0} f (y (s), s) d s = x'_0\)。
\(y_1, y_2 \in Y\)を任意のものとしよう。
\(\Vert g (y_1) (r) - g (y_2) (r) \Vert = \Vert x'_0 + \int^r_{r_0} f (y_1 (s), s) d s - (x'_0 + \int^r_{r_0} f (y_2 (s), s) d s) \Vert = \Vert \int^r_{r_0} (f (y_1 (s), s) - f (y_2 (s), s)) d s \Vert \le \vert \int^r_{r_0} \Vert f (y_1 (s), s) - f (y_2 (s), s) \Vert d s \vert \le \vert \int^r_{r_0} L \Vert y_1 (s) - y_2 (s) \Vert d s \vert \le \vert \int^r_{r_0} L Sup (\{\Vert y_1 (s) - y_2 (s) \Vert \vert s \in J\}) d s \vert = L Sup (\{\Vert y_1 (s) - y_2 (s) \Vert \vert s \in J\}) \vert \int^r_{r_0} 1 d s \vert \le L Sup (\{\Vert y_1 (s) - y_2 (s) \Vert \vert s \in J\}) \epsilon_j = L \epsilon_j dist (y_1, y_2)\)、ここで、\(L \epsilon_j \lt 1\)。
したがって、\(dist (g (y_1), g (y_2)) = Sup (\{\Vert g (y_1) (r) - g (y_2) (r) \Vert \vert r \in J\}) \le L \epsilon_j dist (y_1, y_2)\)、したがって、\(g\)はコントラクション（収斂）である。
したがって、以下を満たすユニークなフィックスト（固定された）要素\(x \in Y\)、つまり、\(g (x) = x\)、がある、コントラクション（収斂）マッピングの法則によって。
それが意味するのは、\(x (r) = x'_0 + \int^r_{r_0} f (x (s), s) d s\)。
\(x\)は\(C^1\)である、なぜなら、\(d x / d r = f (x (r), r)\)、それはコンティニュアス（連続）である。
ステップ4:
\(x\)がユニークな解である、なぜなら、任意の解\(x\)は\(x (r) = x'_0 + \int^r_{r_0} f (x (s), s) d s\)を満たす必要がある、それが意味するのは、当該解は\(g (x) = x\)を満たす必要があるということ、したがって、\(x\)はフィックスト（固定された）要素である必要がある、しかし、フィックスト（固定された）要素はユニークである。
