520: シンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中へのカバリングマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）である

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シンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中へのカバリングマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、カバリングマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のカバリングマップ（写像）によるリフトの定義を知っている。
• 読者は、シンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題を認めている。
• 読者は、任意のパスホモトピックパスたちのリフトたちで任意の同一ポイントから開始するものたちはパスホモトピックであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のパスコネクテッド（連結された）コンポーネントは任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のシンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の中への任意のカバリングマップ（写像）はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\cap \{\text{ 全てのローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\cap \{\text{ 全てのローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\cap \{\text{ 全てのシンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$\pi$: $:T_1\to T_2$, $\in \{\text{ 全てのカバリングマップ（写像）たち }\}$
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ステートメント（言明）たち:
$\pi \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}$.
//

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2: 自然言語記述

任意のコネクテッド（連結された）、ローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、ここで、$T_2$はシンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）でもある、に対して、任意のカバリングマップ（写像）$\pi :T_1\to T_2$、それが意味するのは、$\pi$はコンティニュアス（連続）でサージェクティブ（全射）で任意のポイント$p\in T_2$の周りにある$N_p\subseteq T_2$で$\pi$によってイーブンにカバーされているものがある、はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。

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3: 証明

任意のポイント$p\in T_2$に対して、2つのポイントたち$p_1,p_2\in {\pi }^{-1}(p)$, $p_1\ne p_2$があったと仮定しよう。$p_1$と$p_2$はパスコネクテッド（連結された）ではないであろう、なぜなら、もしも、以下を満たすあるパス$\lambda :I\to T_1$、つまり、$\lambda (0)=p_1$および$\lambda (1)=p_2$、があったら、$\pi \circ \lambda$は$T_2$上のループだということになり、$\pi \circ \lambda \simeq c_p$、ここで、$c_p$は$\{p\}$の中へのコンスタント（定値）パス、なぜなら、$T_2$はシンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）である; 以下を満たすユニークなリフト$\widetilde{\pi \circ \lambda }$、つまり、$\widetilde{\pi \circ \lambda }(0)=p_1$、および以下を満たすユニークなリフト$\widetilde{c_p}$、つまり、$\widetilde{c_p}(0)=p_1$、があることになる、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって、そして、$\widetilde{\pi \circ \lambda }\simeq \widetilde{c_p}$および$\widetilde{\pi \circ \lambda }(1)=\widetilde{c_p}(1)$、任意のパスホモトピックパスたちのリフトたちで任意の同一ポイントから開始するものたちはパスホモトピックであるという命題によって; しかし、$\widetilde{\pi \circ \lambda }=\lambda$および$\widetilde{c_p}=c_{p_1}$、そして、$\widetilde{\pi \circ \lambda }(1)=\lambda (1)=p_2$および$\widetilde{c_p}(1)=c_{p_1}(1)=p_1$、矛盾。

したがって、各ポイント$p_{\alpha }\in {\pi }^{-1}(p)$の周りにパスコネクテッド（連結された）コンポーネント$S_{\alpha }$があることになる。$T_1$上にどの$S_{\alpha }$にも属さないポイントはないということになる、なぜなら、任意のポイント$p^{\prime }\in T_1$に対して、$p$と$\pi (p^{\prime })$はパスコネクテッド（連結された）であろう（なぜなら、$T_2$はシンプリー（単純に）コネクテッド（連結された）である、それは、パスコネクテッド（連結された）であることを含意する）、したがって、以下を満たすあるループ$l_{\pi (p^{\prime }),p}:I\to T_2$、つまり、$l_{\pi (p^{\prime }),p}(0)=l_{\pi (p^{\prime }),p}(1)=\pi (p^{\prime })$および$l_{\pi (p^{\prime }),p}(1/2)=p$、があるだろう; 以下を満たすユニークなリフト$\widetilde{l_{\pi (p^{\prime }),p}}$、つまり、$\widetilde{l_{\pi (p^{\prime }),p}}(0)=p^{\prime }$、があるだろう、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題によって、そして、$\widetilde{l_{\pi (p^{\prime }),p}}$は${\pi }^{-1}(p)$の1つを通過するだろう、したがって、$p^{\prime }$${\pi }^{-1}(p)$の1つとパスコネクテッド（連結された）であろう。

したがって、$T_1={\cup }_{\alpha }{S}_{\alpha }$、しかし、各$S_{\alpha }$はオープン（開）であろう、任意のパスコネクテッド（連結された）コンポーネントは任意のローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上でオープン（開）かつクローズド（閉）であるという命題によって、そして、$\{S_{\alpha }\}$はディスジョイント（互いに素）であろう、したがって、${\pi }^{-1}(p)$の中に複数のポイントたちがあったら、$T_1$はコネクテッド（連結された）でないということになる。したがって、${\pi }^{-1}(p)$の中にただ1つのポイントがある。したがって、$\pi$はバイジェクション（全単射）である。

したがって、${\pi }^{-1}$はマップ（写像）であり、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、各ポイント$p\in T_2$の周りに、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq T_2$、つまり、${\pi }^{-1}{|}_{U_p}:U_p\to {\pi }^{-1}(U_p)$はコンティニュアス（連続）である、がある、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって。

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参考資料

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