578: ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）はコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でオープン（開）である

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ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）はコンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でオープン（開）であることの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、シンプリシャルコンプレックスの定義を知っている。
• 読者は、アファインシンプレックス（単体）おシンプレックス（単体）インテリア（内部）の定義を知っている。
• 読者は、iシンプリシャルコンプレックス内のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）の定義を知っている。
• 読者は、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、任意のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は他のどのシンプレックス（単体）とも交わらないという命題を認めている。
• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスの各要素は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のアファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）であるという命題を認めている。
• 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、各マキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの
$C$: $\in \{V\text{ 上のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち }\}$
$|C|$: $=C\text{ のアンダーライイング（下にある）スペース（空間） }$
$S_{\alpha }$: $\in \{C\text{ 内の全てのマキシマル（極大）シンプレックス（単体）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$S_{\alpha }^{\circ }\in \{|C|\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$.
//

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2: 自然言語記述

任意の$d$ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）$V$でカノニカル（自然な）トポロジーを持つもの、$V$上の任意のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックス$C$、任意のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）$S_{\alpha }\in C$に対して、$S_{\alpha }$のシンプレックス（単体）インテリア（内部）$S_{\alpha }^{\circ }$は$C$のアンダーライイング（下にある）スペース（空間）$|C|$上でオープン（開）である。

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3: 証明

任意の$p\in S_{\beta }^{\circ }$に対して、以下を満たす任意の$S_{\alpha }\in C$、つまり、$S_{\alpha }\ne S_{\beta }$、に対して、$p\notin S_{\alpha }$、なぜなら、$S_{\beta }^{\circ }\cap S_{\alpha }=\mathrm{\varnothing }$、任意のシンプリシャルコンプレックスに対して、任意のマキシマル（極大）シンプレックス（単体）のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は他のどのシンプレックス（単体）とも交わらないという命題によって。

$S_{\alpha }$は$|C|$上でクローズド（閉）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のシンプリシャルコンプレックスの各要素は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって、から、$p$の$|C|$上の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{p,\alpha }\subseteq |C|$、つまり、$U_{p,\alpha }\cap S_{\alpha }=\mathrm{\varnothing }$、がある。

$S_{\beta }^{\circ }$は$S_{\beta }$上ではオープン（開）である、任意のアファインシンプレックス（単体）のシンプレックスインテリア（内部）は、カノニカル（自然な）トポロジーを持つアファインシンプレックス（単体）上でオープン（開）であるという命題によって、から、$p$の$V$上の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{p,\beta }^{\prime }\subseteq V$、つまり、$U_{p,\beta }^{\prime }\cap S_{\beta }\subseteq S_{\beta }^{\circ }$、がある、ここで、$U_{p,\beta }:=U_{p,\beta }^{\prime }\cap |C|$は$|C|$上でオープン（開）であり、$U_{p,\beta }\cap S_{\beta }=U_{p,\beta }^{\prime }\cap S_{\beta }\subseteq S_{\beta }^{\circ }$である。

$U_p:={\cap }_{S_{\alpha }\in C}{U}_{p,\alpha }\subseteq |C|$と取ろう、それは$p$の$|C|$上のオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、$C$は有限数要素しかもたない。$\alpha \ne \beta$に対して、$U_p\cap S_{\alpha }=\mathrm{\varnothing }$、なぜなら、$U_p\subseteq U_{p,\alpha }$および$U_{p,\alpha }\cap S_{\alpha }=\mathrm{\varnothing }$。$U_p=U_p\cap |C|=U_p\cap {\cup }_{S_{\alpha }\in C}{S}_{\alpha }=U_p\cap (S_{\beta }\cup {\cup }_{S_{\alpha }\in C\setminus \{S_{\beta }\}}{S}_{\alpha })=(U_p\cap S_{\beta })\cup (U_p\cap {\cup }_{S_{\alpha }\in C\setminus \{S_{\beta }\}}{S}_{\alpha })=(U_p\cap S_{\beta })\cup ({\cup }_{S_{\alpha }\in C\setminus \{S_{\beta }\}}(U_p\cap S_{\alpha }))=U_p\cap S_{\beta }\subseteq U_{p,\beta }\cap S_{\beta }\subseteq S_{\beta }^{\circ }$。

オープン（開）であることのローカル基準によって、$S_{\beta }^{\circ }$は$|C|$上でオープン（開）である。

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4: 注

$C$がファイナイト（有限）でない時は、$S_{\beta }^{\circ }$は$|C|$上でオープン（開）でないかもしれない。1つの反例として、$V={\mathbb{R}}^2$、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）、で$C$はアファイン1シンプレックスたち（それらのフェイスたちと共に）から成るとする; $S_0=[(0,0),(1,0)]$; $\{S_j=[(0,0),(1,1/j)]|j\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\}$; すると、$p=(1/2,0)$に対して、どんなオープンボール（開球）$B_{p,ϵ}\subseteq {\mathbb{R}}^2$もある$S_j$と交わる、なぜなら、$S_j$は$S_0$へ無限に近づく、$j$が増すにつれて。

私たちは、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスに対して、各コンプレックスディメンショナル（次元）要素のシンプレックス（単体）インテリア（内部）は当該コンプレックスのアンダーライイング（下にある）スペース（空間）上でオープン（開）であるという別の命題を証明したが、本命題は、各マキシマル（極大）（必ずしもコンプレックスディメンショナル（次元）でない）シンプレックス（単体）がオープン（開）であると述べる: 各コンプレックスディメンショナル（次元）シンプレックス（単体）は明らかにマキシマル（極大）シンプレックス（単体）であるが、あるマキシマル（極大）シンプレックス（単体）は必ずしもコンプレックスディメンショナル（次元）ではない。

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参考資料

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