615: 'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）からTopへのファンクター（関手）

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'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）からTopへのファンクター（関手）の定義

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話題

About: カテゴリー

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）の定義を知っている。
• 読者は、Topカテゴリー（圏）の定義を知っている。
• 読者は、コバリアント（共変）ファンクター（関手）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）からTopへのファンクター（関手）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$K$: $=\text{ 'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー }$
$Top$: $=\text{ Topカテゴリー }$
$\ast |\bullet |$: $:Obj(K)\to Obj(Top),Mor(K)\to Mor(Top)$, $\in \{\text{ 全てのコバリアント（共変）ファンクター（関手）たち }\}$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }C\in Obj(K)(|C|=|C|)$、ここで、右辺はアンダーライイング（下にある）スペース（空間）
$\wedge$
$\mathrm{\forall }f\in Mor(C_1,C_2)(\mathrm{\forall }S\in C_1(|f{|}_{{|}_S}=\text{ 当該アファインマップ（写像）}))$
//

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2: 自然言語記述

'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー$K$、$Top$カテゴリーに対して、以下を満たすコバリアント（共変）ファンクター（関手）$|\bullet |$、$:Obj(K)\to Obj(Top),Mor(K)\to Mor(Top)$、つまり、各$C\in Obj(K)$に対して、$|C|=|C|$、ここで、右辺はアンダーライイング（下にある）スペース（空間）、各$f\in Mor(C_1,C_2)$に対して、各$S\in C_1$に対して、$|f{|}_{{|}_S}=\text{ 当該アファインマップ（写像） }$

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3: 注

$|\bullet |$は本当にコバリアント（共変）ファンクター（関手）である: $|C|$は本当にトポロジカルスペース（空間）である; 1) $|f_1|\in Mor(|C_1|,|C_2|)$、なぜなら、$|f|$は本当に$|C_1|$から$|C_2|$の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）である、なぜなら、$C_1$内の各シンプレックスは$|C_1|$上でクローズド（閉）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって、そして、各アファインマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれない任意のセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）から任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のアファインマップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であるという命題によって、そして、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を適用できる; 2) $|i{d}_{C_1}|=i{d}_{|O_1|}$、明らかに; 3) $|f_2\circ f_1|=|f_2|\circ |f_1|$、なぜなら、$|f_2\circ f_1{|}_{{|}_S}$は、$\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j\mapsto \sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{f}_2\circ f_1(p_j)$、その一方、$|f_2|\circ |f_1{|}_{{|}_S}$は、$\sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{p}_j\mapsto \sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{f}_1(p_j)\mapsto \sum _{j\in \{0,...,n\}}{t}^j{f}_2\circ f_1(p_j)$、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からの任意のアファインマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題によって。

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参考資料

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