'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）からTopへのファンクター（関手）の定義
話題
About: カテゴリー
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）の定義を知っている。
- 読者は、Topカテゴリー（圏）の定義を知っている。
- 読者は、コバリアント（共変）ファンクター（関手）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー（圏）からTopへのファンクター（関手）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( K\): \(= \text{ 'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー }\)
\( Top\): \(= \text{ Topカテゴリー }\)
\(*\vert \bullet \vert\): \(: Obj (K) \to Obj (Top), Mor (K) \to Mor (Top)\), \(\in \{\text{ 全てのコバリアント（共変）ファンクター（関手）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall C \in Obj (K) (\vert C \vert = \vert C \vert)\)、ここで、右辺はアンダーライイング（下にある）スペース（空間）
\(\land\)
\(\forall f \in Mor (C_1, C_2) (\forall S \in C_1 (\vert f \vert_{\vert_{S}} = \text{ 当該アファインマップ（写像）}))\)
//
2: 自然言語記述
'ファイナイト（有限）シンプリシャルコンプレックスたち - シンプリシャルマップ（写像）たち'カテゴリー\(K\)、\(Top\)カテゴリーに対して、以下を満たすコバリアント（共変）ファンクター（関手）\(\vert \bullet \vert\)、\(: Obj (K) \to Obj (Top), Mor (K) \to Mor (Top)\)、つまり、各\(C \in Obj (K)\)に対して、\(\vert C \vert = \vert C \vert\)、ここで、右辺はアンダーライイング（下にある）スペース（空間）、各\(f \in Mor (C_1, C_2)\)に対して、各\(S \in C_1\)に対して、\(\vert f \vert_{\vert_{S}} = \text{ 当該アファインマップ（写像） }\)
3: 注
\(\vert \bullet \vert\)は本当にコバリアント（共変）ファンクター（関手）である: \(\vert C \vert\)は本当にトポロジカルスペース（空間）である; 1) \(\vert f_1 \vert \in Mor (\vert C_1\vert, \vert C_2 \vert)\)、なぜなら、\(\vert f \vert\)は本当に\(\vert C_1 \vert\)から\(\vert C_2 \vert\)の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）である、なぜなら、\(C_1\)内の各シンプレックスは\(\vert C_1 \vert\)上でクローズド（閉）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上の任意のアファインシンプレックス（単体）はカノニカル（自然な）トポロジカルスーパースペース（空間）上でクローズド（閉）でコンパクトであるという命題によって、そして、各アファインマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちのアファインインディペンデント（独立）でないかもしれない任意のセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）から任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）の中への任意のアファインマップ（写像）はカノニカル（自然な）トポロジーたちに関してコンティニュアス（連続）であるという命題によって、そして、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、ある有限数クローズドカバー（閉被覆）の各クローズドセット（閉集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を適用できる; 2) \(\vert id_{C_1} \vert = id_{\vert O_1 \vert}\)、明らかに; 3) \(\vert f_2 \circ f_1 \vert = \vert f_2 \vert \circ \vert f_1 \vert\)、なぜなら、\(\vert f_2 \circ f_1 \vert_{\vert_S}\)は、\(\sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j f_2 \circ f_1 (p_j)\)、その一方、\(\vert f_2 \vert \circ \vert f_1 \vert_{\vert_S}\)は、\(\sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j p_j \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j f_1 (p_j) \mapsto \sum_{j \in \{0, ..., n\}} t^j f_2 \circ f_1 (p_j)\)、任意のリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）上のベースポイントたちの任意のアファインインディペンデント（独立）でないかもしれないセット（集合）によってスパンされる（張られる）アファインまたはコンベックスセット（集合）からの任意のアファインマップ（写像）はリニア（線形）であるという命題によって。
