ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つものに対して、インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジーはカノニカル（正典）トポロジーであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のカウンタブル（可算）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものはオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジーはカノニカル（正典）トポロジーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）を持つもの
\(O_i\): \(= V \text{ に対する当該インナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）トポロジー }\)
\(O_c\): \(= V \text{ に対するカノニカル（正典）トポロジー }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(O_i = O_c\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)に対する任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)を取る; ステップ2: \(O_i\)に関する各オープンボール（開球）は\(O_c\)に関するオープンボール（開球）でありその逆も真であることを見る; ステップ3: 各\(U_i \in O_i\)に対して、\(U_i \in O_c\)であることを見る; ステップ4: 各\(U_c \in O_c\)に対して、\(U_c \in O_i\)であることを見る; ステップ5: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(V\)に対する任意のオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)を取ろう、任意のカウンタブル（可算）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものはオーソノーマル（正規直交）ベーシス（基底）を持つという命題によって。
注意として、\(O_c\)はベーシス（基底）の選択に依存しない、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義またはファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（正典）トポロジーの定義内に言及されているとおり。
\(f': V \to F^d\)を\(B\)に関するカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）（それによって\(O_c\)が定義されている）としよう。
\(F = \mathbb{R}\)である時、\(f := f'\)としよう。
\(F = \mathbb{C}\)である時、\(f'': \mathbb{R}^{2 d} \to \mathbb{C}^d\)をカノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）とし、\(f := f''^{-1} \circ f': V \to \mathbb{R}^{2 d}\)、ここで、\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、明らかに。
ステップ2:
'\(v \in V\)周りの\(O_c\)に対する\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）''\(B_{c, v, \epsilon} \subseteq V\)は、\(f^{-1} (B_{f (v), \epsilon})\)を意味する、ここで、\(B_{f (v), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{R}^{2 d}\)は、\(f (v) \in \mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{R}^{2 d}\)周りのユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}^d \text{ または } \mathbb{R}^{2 d}\)上における\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'。
\(B_{c, v, \epsilon} \in O_c\)、なぜなら、\(f\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
\(O_i\)に関する各オープンボール（開球）は\(O_c\)に関するオープンボール（開球）であることを見よう。
\(v \in V\)および\(\epsilon \in \mathbb{R}\)で\(0 \lt \epsilon\)を満たすものを任意のものとしよう。
\(B_{i, v, \epsilon} \subseteq V\)を\(v\)周りの\(O_i\)に対するオープンボール（開球）としよう。
\(B_{i, v, \epsilon} = B_{c, v, \epsilon}\)であることを見よう。
\(p \in B_{i, v, \epsilon}\)を任意のものとしよう。
\(\langle p - v, p - v \rangle \lt \epsilon^2\)。
しかし、\(p - v = p^j b_j - v^j b_j = (p^j - v^j) b_j\)、したがって、\(\langle p - v, p - v \rangle = \langle (p^j - v^j) b_j, (p^j - v^j) b_j \rangle = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert p^j - v^j \vert^2\)、なぜなら、\(B\)はオーソノーマル（正規直交）である、したがって、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert p^j - v^j \vert^2 \lt \epsilon^2\)。
\(F = \mathbb{R}\)としよう。
\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} (p^j - v^j)^2 = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert p^j - v^j \vert^2 \lt \epsilon^2\)。
\(f (p) - f (v) = (p^1, ..., p^d) - (v^1, ..., v^d) = (p^1 - v^1, ..., p^d - v^d)\)、そして、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} (p^j - v^j)^2 \lt \epsilon^2\)は、\(f (p) \in B_{f (v), \epsilon}\)を意味する。
したがって、\(p \in f^{-1} (B_{f (v), \epsilon}) = B_{c, v, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{i, v, \epsilon} \subseteq B_{c, v, \epsilon}\)。
\(p \in B_{c, v, \epsilon}\)を任意のものとしよう。
\(f (p) \in f (B_{c, v, \epsilon}) = B_{f (v), \epsilon}\)。
それが意味するのは、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} (p^j - v^j)^2 \lt \epsilon^2\)。
\(\langle p - v, p - v \rangle = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} (p^j - v^j)^2\)、前と同様。
したがって、\(\langle p - v, p - v \rangle \lt \epsilon^2\)。
したがって、\(p \in B_{i, v, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{c, v, \epsilon} \subseteq B_{i, v, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{i, v, \epsilon} = B_{c, v, \epsilon}\)。
\(F = \mathbb{C}\)としよう。
\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} ((Re (p^j) - Re (v^j))^2 + (Im (p^j) - Im (v^j))^2) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} ((Re (p^j - v^j))^2 + (Im (p^j - v^j))^2) = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} \vert p^j - v^j \vert^2 \lt \epsilon^2\)。
\(f (p) - f (v) = (Re (p^1), Im (p^1)..., Re (p^d), Im (p^d)) - (Re (v^1), Im (v^1)..., Im (v^d), Im (v^d)) = (Re (p^1) - Re (v^1), Im (p^1) - Im (v^1), ..., Re (p^d) - Re (v^d), Im (p^d) - Im (v^d))\)、そして、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} ((Re (p^j) - Re (v^j))^2 + (Im (p^j) - Im (v^j))^2) \lt \epsilon^2\)は\(f (p) \in B_{f (v), \epsilon}\)を意味する。
したがって、\(p \in f^{-1} (B_{f (v), \epsilon}) = B_{c, v, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{i, v, \epsilon} \subseteq B_{c, v, \epsilon}\)。
\(p \in B_{c, v, \epsilon}\)を任意のものとしよう。
\(f (p) \in f (B_{c, v, \epsilon}) = B_{f (v), \epsilon}\)。
それが意味するのは、\(\sum_{j \in \{1, ..., d\}} ((Re (p^j) - Re (v^j))^2 + (Im (p^j) - Im (v^j))^2)\lt \epsilon^2\)。
\(\langle p - v, p - v \rangle = \sum_{j \in \{1, ..., d\}} ((Re (p^j) - Re (v^j))^2 + (Im (p^j) - Im (v^j))^2)\)、前と同様。
したがって、\(\langle p - v, p - v \rangle \lt \epsilon^2\)。
したがって、\(p \in B_{i, v, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{c, v, \epsilon} \subseteq B_{i, v, \epsilon}\)。
したがって、\(B_{i, v, \epsilon} = B_{c, v, \epsilon}\)。
他方で、\(O_c\)に関する各オープンボール（開球）は\(O_i\)に関するオープンボール（開球）である、なぜなら、\(B_{c, v, \epsilon} = B_{i, v, \epsilon}\)。
ステップ3:
各\(U_i \in O_i\)に対して、\(U_i \in O_c\)であることを見よう。
\(p \in U_i\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(B_{i, p, \epsilon} \subseteq V\)、つまり、\(B_{i, p, \epsilon} \subseteq U_i\)、がある。
しかし、\(B_{c, p, \epsilon} = B_{i, p, \epsilon}\)、ステップ2によって、であるから、\(B_{c, p, \epsilon} \subseteq U_i\)。
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(U_i \in O_c\)。
ステップ4:
各\(U_c \in O_c\)に対して、\(U_c \in O_i\)であることを見よう。
\(p \in U_c\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(B_{c, p, \epsilon} \subseteq V\)、つまり、\(B_{c, p, \epsilon} \subseteq U_c\)、がある。
しかし、\(B_{i, p, \epsilon} = B_{c, p, \epsilon}\)、ステップ2によって、であるから、\(B_{i, p, \epsilon} \subseteq U_c\)。
オープン（開）であることのローカル基準によって、\(U_c \in O_i\)。
ステップ5:
したがって、\(O_i = O_c\)。
