グループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、コンパクトサブセット（部分集合）のインバース（逆）はコンパクトであり、コンパクトサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）積はコンパクトであることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）でトポロジーを持ちコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、任意のコンパクトサブセット（部分集合）のインバース（逆）はコンパクトであり、任意のコンパクトサブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）積はコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で、任意のトポロジーを持ちグループ（群）オペレーションたちがコンティニュアス（連続）であるもの
\(K_1\): \(\in \{G \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(K_2\): \(\in \{G \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\({K_1}^{-1} \in \{G \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(\land\)
\(K_1 K_2 \in \{G \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: インバースマップ（逆写像）\(f_i: G \to G, g \mapsto g^{-1}\)のことを考え、\(f_i\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ2: \({K_1}^{-1} = f_i (K_1)\)はコンパクトであることを見る; ステップ3: マルチプリケーションマップ（乗法写像）\(f_m: G \times G \to G\)のことを考え、\(K_1 \times K_2 \subseteq G \times G\)はコンパクトサブセット（部分集合）であることを見る; ステップ4: \(K_1 K_2 = f_m (K_1 \times K_2)\)はコンパクトであることを見る。
ステップ1:
インバースマップ（逆写像）\(f_i: G \to G, g \mapsto g^{-1}\)のことを考えよう。
\(f_i\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のグループ（群）で任意のトポロジーを持ち任意のコンティニュアス（連続）オペレーションたちを持つもの（特に、トポロジカルグループ（群））に対して、インバージョン（逆）マップ（写像）、要素による左または右からのマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）、要素によるコンジュゲーション（共役）マップ（写像）たちはホメオモーフィズム（位相同形写像）たちであるという命題によって。特に、\(f_i\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ2:
\({K_1}^{-1} = f_i (K_1)\)。
\(f_i (K_1) \subseteq G\)はコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題によって。
したがって、\({K_1}^{-1} \subseteq G\)コンパクトサブセット（部分集合）である。
ステップ3:
マルチプリケーションマップ（乗法写像）\(f_m: G \times G \to G\)のことを考えよう。
\(f_m\)はコンティニュアス（連続）である、当該仮定によって。
\(K_j\)はコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
\(K_1 \times K_2\)はコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題によって。
\(K_1 \times K_2\)、当該トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのプロダクトとして、は\(G \times G\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題によって、したがって、\(K_1 \times K_2 \subseteq G \times G\)はコンパクトサブスペース（部分空間）である。
\(K_1 \times K_2 \subseteq G \times G\)はコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
ステップ4:
\(K_1 K_2 = f_m (K_1 \times K_2)\)。
\(f_m (K_1 \times K_2) \subseteq G\)はコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題によって。
したがって、\(K_1 K_2 \subseteq G\)はコンパクトサブセット（部分集合）である。
