コンパクトパラメータスペース（空間）を持つ、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）のサブスペース（部分空間）からユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）のサブスペース（部分空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）でローカルにリプシッツ評価たちを満たすものに対して、コンパクトサブスペース（部分空間）上へのリストリクション（制限）はリプシッツ評価たちを満たすことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しいという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってを認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルパラメータスペース（空間）を持つ、任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のサブスペース（部分空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のサブスペース（部分空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの中への任意のコンティニュアスマップ（連続写像）でローカルにリプシッツ評価たちを満たすものに対して、当該マップ（写像）の任意のコンパクトサブスペース（部分空間）上へのリストリクション（制限）はリプシッツ評価たちを満たすという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^{d_1}\): \(= \text{ 当該マユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(\mathbb{R}^{d_2}\): \(= \text{ 当該マユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間） }\)
\(M_{1, 1}\): \(\in \{\mathbb{R}^{d_1} \text{ の全てのメトリックサブスペース（計量付き部分空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(M_2\): \(\in \{\mathbb{R}^{d_2} \text{ の全てのメトリックサブスペース（計量付き部分空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(M_{1, 2}\): \(\in \{M_{1, 1} \text{ の全てのメトリックサブスペース（計量付き部分空間）たち }\}\)で、インデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの、\(\in \{M_{1, 1} \text{ の全てのコンパクトトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(f\): \(: M_{1, 1} \times T \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
\(f \vert_{M_{1, 2} \times T}\): \(: M_{1, 2} \times T \to M_2\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall m \in M_{1, 1} (\exists U_m \in \{m \text{ の } M_{1, 1} \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}, \exists L_m \in \mathbb{R} (\forall m_1, m_2 \in U_m, \forall t \in T (dist (f (m_1, t), f (m_2, t)) \le L_m dist (m_1, m_2))))\)
\(\implies\)
\(\exists L \in \mathbb{R} (\forall m_1, m_2 \in M_{1, 2}, \forall t \in T (dist (f (m_1, t), f (m_2, t)) \le L dist (m_1, m_2)))\)
//
2: 注
\(M_{1, 2}\)の、サブスペース（部分空間）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーは、\(M_{1, 1}\)のサブスペース（部分空間）トポロジーに他ならない、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しいという命題によって、したがって、\(M_{1, 2}\)は、インデュースト（誘導された）トポロジーでコンパクトである。
3: 証明
全体戦略: \(f (M_{1, 2} \times T)\)は、直径\(D\)を持ってバウンデッド（有界）であることを見る; ステップ2: \(M_{1, 2}\)の以下を満たすあるファイナイト（有限）カバー（被覆）\(\{B_{m_j, \delta (m_j)}\}\)、つまり、\(f\)は\(L_{m_j}\)を持って\(\{B_{m_j, 2 \delta (m_j)}\}\)上方でリプシッツ評価たちを満たす、を取り、\(\delta := Min \{\delta (m_j)\}\)および\(L' := Max \{L_{m_j}\}\)を定義する; ステップ3: \(L := Max \{L', D / \delta\}\)を取り、\(L\)は当該要求を満たすことを見る。
ステップ1:
\(M_{1, 2}\)と\(T\)のトポロジカルプロダクトとしての\(M_{1, 2} \times T\)は、\(M_{1, 1}\)と\(T\)のトポロジカルプロダクトとしての\(M_{1, 1} \times T\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
\(M_{1, 2} \times T\)はコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題によって。
したがって、\(M_{1, 2} \times T\)は\(M_{1, 1} \times T\)のコンパクトサブスペース（部分空間）である。
\(M_{1, 2} \times T\)は\(M_{1, 1} \times T\)のコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
\(f (M_{1, 2} \times T)\)は\(M_2\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題によって。
\(M_2\)は\(\mathbb{R}^{d_2}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルスペース（空間）で任意のメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）なもの、任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）をトポロジカルサブスペース（部分空間）とみなしたものは、当該サブセット（部分集合）をメトリックサブスペース（計量部分空間）によってインデュースト（誘導された）なトポロジカルスペース（空間）とみなしたものに等しいという命題によって。
\(f (M_{1, 2} \times T)\)は\(\mathbb{R}^{d_2}\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。
\(f (M_{1, 2} \times T)\)はバウンデッド（有界）である、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってによって。
したがって、以下を満たすあるコンスタント\(D\)、つまり、任意の\(m_1, m_2 \in f (M_{1, 2} \times T)\)に対して、\(dist (m_1, m_2) \le D\)、がある。
ステップ2:
各\(m \in M_{1, 2}\)に対して、何らかの\(U_m \subseteq M_{1, 1}\)および\(L_m\)がある、仮定によって、しかし、\(U_m\)はあるオープンボール（開球）\(B_{m, 2 \delta (m)} \subseteq M_{1, 1}\)に取れる、なぜなら、もしも、\(U_m\)がそうでなければ、\(B_{m, 2 \delta (m)}\)を\(B_{m, 2 \delta (m)} \subseteq U_m\)であるように取ることができ、\(B_{m, 2 \delta (m)}\)を\(U_m\)の代わりに使うことができる、\(L_m\)を動かすことなく。
\(\{B_{m, \delta (m)} \subseteq M_{1, 1} \vert m \in M_{1, 2}\}\)は、\(M_{1, 2}\)の\(M_{1, 1}\)上におけるあるオープンカバー（開被覆）であり、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{B_{m_j, \delta (m_j)}\}\)がある。
\(\delta := Min \{\delta (m_j)\}\)および\(L' := Max \{L_{m_j}\}\)を定義しよう。
ステップ3:
\(L := Max \{L', D / \delta\}\)を取ろう。
各\(p_1, p_2 \in M_{1, 2}\)に対して、以下の2個のケースたちがある: 1) \(dist (p_1, p_2) \lt \delta\); 2) \(\delta \le dist (p_1, p_2)\)。
ケース1)に対して、\(p_1 \in B_{m_j, \delta (m_j)}\)、ある\(j\)に対して、そして、\(dist (p_2, m_j) \le dist (p_2, p_1) + dist (p_1, m_j) \lt \delta + \delta (m_j) \le 2 \delta (m_j)\)。したがって、\(p_1, p_2 \in B_{m_j, 2 \delta (m_j)}\)。\(B_{m_j, 2 \delta (m_j)}\)はそこでリプシッツ評価たちが満たされるあるサブセット（部分集合）であるから、\(dist (f (p_1, t) - f (p_2, t)) \le L_{m_j} dist (p_1, p_2) \le L' dist (p_1, p_2) \le L dist (p_1, p_2)\)。
ケース2)に対して、\(dist (f (p_1, t) - f (p_2, t)) \le D \le D / \delta dist (p_1, p_2) \le L dist (p_1, p_2)\)。
したがって、\(dist (f (p_1, t) - f (p_2, t)) \le L dist (p_1, p_2)\)、任意のケースに対して。
