ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちでノルムたちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちを持つものたちのファイナイト（有限）-ダイレクトサムに対して、プロダクトノルムはプロダクトトポロジーをインデュース（誘導）することの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジーの定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちのファイナイト（有限）-'ダイレクトサム'上のプロダクトノルムの定義を知っている。
- 読者は、オープン（開）であることのローカル基準を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たちでノルムたちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちを持つものたちの任意のファイナイト（有限）-ダイレクトサムに対して、当該プロダクトノルムは当該プロダクトトポロジーをインデュース（誘導）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{V_j \vert j \in J\}\): \(V_j \in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のノルム\(\Vert \bullet \Vert_j\)を持つもの
\(\oplus_{j \in J} V_j\): \(= \text{ 当該ダイレクトサム }\)
\(\Vert \bullet \Vert\): \(= \oplus_{j \in J} V_j \text{ 上方のプロダクトノルム }\)
\(O\): \(= V_J \text{ たちに } \Vert \bullet \Vert_j \text{ たちによってインデュースト（誘導された）トポロジーたちが与えられての } \oplus_{j \in J} V_j \text{ に対するプロダクトトポロジー }\)
\(O'\): \(= \oplus_{j \in J} V_j \text{ に対する } \Vert \bullet \Vert \text{ によってインデュースト（誘導された）トポロジー }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(O = O'\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(U \in O\)を任意のものとし、\(U \in O'\)であることを見る; ステップ2: \(U \in O'\)を任意のものとし、\(U \in O\)であることを見る。
ステップ1:
\(U \in O\)を任意のものとしよう。
\(U \in O'\)であることを見よう。
\(u \in U\)を任意のものとしよう。
\(u\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_u \in O\)、つまり、\(U_u \subseteq U\)、がある、オープン（開）であることのローカル基準によって。
\(u_j\)たちの以下を満たす何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たち、\(\{U_{u_j} \subseteq V_j\}\)、つまり、\(\times_{j \in J} U_{u_j} \subseteq U_u\)、がある、プロダクトトポロジーの定義によって。
\(U_{u_J}\)は\(\Vert \bullet \Vert_j\)によってインデュースト（誘導された）トポロジー内でオープン（開）であるから、\(u_j\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{u_j, \epsilon_j} \subseteq V_j\)、つまり、\(B_{u_j, \epsilon_j} \subseteq U_{u_J}\)、がある。
\(\epsilon = min \{\epsilon_j \vert j \in J\}\)を取ろう。
\(u \in \times_{j \in J} B_{u_j, \epsilon} \subseteq \times_{j \in J} U_{u_j} \subseteq U_u\)。
\(B_{u, \epsilon} \subseteq \times_{j \in J} B_{u_j, \epsilon}\)であることを見よう。
\(u' \in B_{u, \epsilon}\)を任意のものとしよう。
\(\Vert u' - u \Vert = \sqrt{\sum_{j \in J} {\Vert u'_j - u_j \Vert_j}^2} \lt \epsilon\)。
それが意味するのは、\(\Vert u'_j - u_j \Vert_j \lt \epsilon\)。
それが意味するのは、\(u' \in \times_{j \in J} B_{u_j, \epsilon}\)。
したがって、\(u \in B_{u, \epsilon} \subseteq \times_{j \in J} B_{u_j, \epsilon} \subseteq U_u \subseteq U\)。
したがって、\(U \in O'\)。
ステップ2:
\(U \in O'\)を任意のものとしよう。
\(U \in O\)であることを見よう。
\(u \in U\)を任意のものとしよう。
\(u\)周りの以下を満たすあるオープンボール（開球）\(B_{u, \epsilon} \subseteq \oplus_{j \in J} V_j\)、つまり、\(B_{u, \epsilon} \subseteq U\)、がある。
\(\delta := \epsilon / \sqrt{\vert J \vert}\)に対して、\(\times_{j \in J} B_{u_j, \delta} \subseteq B_{u, \epsilon}\)であることを見よう。
\(u' \in \times_{j \in J} B_{u_j, \delta}\)を任意のものとしよう。
\(\Vert u' - u \Vert = \sqrt{\sum_{j \in J} {\Vert u'_j - u_j \Vert_j}^2} \lt \sqrt{\sum_{j \in J} \delta^2} = \sqrt{\vert J \vert \delta^2} = \epsilon\)。
したがって、\(u' \in B_{u, \epsilon}\)。
したがって、\(u \in \times_{j \in J} B_{u_j, \delta} \subseteq B_{u, \epsilon} \subseteq U\)。
しかし、\(B_{u_j, \delta} \subseteq V_j\)は、\(u_j\)の、\(\Vert \bullet \Vert_j\)によってインデュースト（誘導された）トポロジー内におけるオープンネイバーフッド（開近傍）であり、\(\times_{j \in J} B_{u_j, \delta}\)は\(u\)の、\(O\)内におけるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
したがって、オープン（開）であることのローカル基準によって、\(U \in O\)。
