ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ODE（常微分方程式）、初期条件付き、に対する解の\(C^k\)性の記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）からノルム付きベクトルたちスペース（空間）のサブセット（部分集合）の中へのマップ（写像）のポイントにおけるデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）間のマップ（写像）でポイントにおいて\(C^k\)であるもの、ここで、\(k\)は\(0\)を除外し\(\infty\)を含む\(k\)、の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）マトリックスノルムの定義を知っている。
- 読者は、フロベニウスマトリックス（行列）ノルムの定義を知っている。
- 読者は、セット（集合）からメトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちのユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）の定義を知っている。
- 読者は、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってを認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）で任意のサブスペース（部分空間）内に包含されているものは当該サブスペース（部分空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、任意のオープンサブセット（開部分集合）、当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含される任意のコンパクトサブセット（部分集合）に対して、あるポジティブ（正）半径で当該コンパクトサブセット（部分集合）上の各ポイント周りオープン（開）またはクローズド（閉）ボール（球）は当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されるものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、任意のバウンデッドサブセット（有界部分集合）、任意のリアルナンバー（実数）に対して、当該サブセット（部分集合）の各ポイント周りの当該ナンバー（数字）半径のオープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）はバウンデッド（有界）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意のバウンデッドサブセット（有界部分集合）のクロージャー（閉包）はバウンデッド（有界）で同一ディアミター（直径）を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）、任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）の各ポイント周りの当該ナンバー（数字）半径のオープンボール（開球）が当該サブセット（部分集合）内に包含されている場合、当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）の各ポイント周りの任意のより小さい半径のオープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）内に包含されているという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルパラメータスペース（空間）を持つ、任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のサブスペース（部分空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のサブスペース（部分空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの中への任意のコンティニュアスマップ（連続写像）でローカルにリプシッツ評価たちを満たすものに対して、当該マップ（写像）の任意のコンパクトサブスペース（部分空間）上へのリストリクション（制限）はリプシッツ評価たちを満たすという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題を認めている。
- 読者は、任意の非1ポイントインターバル（区間）で任意のクローズドエンド（閉端）を持つものからの任意のコンティニュアス（連続）リアルマップ（実写像）に対して、もしも、当該インテリア（内部）のイメージ（像）がバウンデッド（有界）である場合、当該レンジ（値域）は対応して等しいかより小さいかより大きいバウンデッド（有界）であるという命題を認めている。
- 読者は、あるユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）である初期コンディションを持つものに対するあるクローズドインターバルドメイン（閉区間定義域）に対するローカルユニーク解存在、当該解のドメイン（定義域）エリアのある明確化を持ってを認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、当該コンバージェンス（収束マップ（写像））はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のクローズドインターバル（閉区間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対する平均値定理を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）で当該ドメイン（定義域）がインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、当該マップ（写像）の任意のコンパクトドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）はユニフォーム（一様）にコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のオープンインターバル（開区間）から任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でユークリディアンノルムを持つものの中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対して、各ポイントイメージ（像）のノルムは、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間のあるディファレンシャブルマップ（微分可能写像）である初期コンディションを持つものによってアッパーバウンデッド（上から限られる）である、もしも、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間のあるリプシッツマップ（写像）で特定コンディションたちを満たすものがある場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）から任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）はユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）するという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期条件付き、に対する解の\(C^k\)性の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）として
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)、ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）として
\(U\): \(\in \{\mathbb{R}^d \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち } \}\)
\(J\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の全てのインターバル（区間）たち }\}\)、当該ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち
\(f\): \(: U \times J \to \mathbb{R}^d\), \(\in \{\text{ 全ての } C^k \text{ マップ（写像）たち }\}\)、で以下を満たすもの、つまり、\(\forall u \in U (\exists U_u \in \{u \text{ の } U \text{ 上における全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\} (\forall u_1, u_2 \in U_u, \forall r \in J (\Vert f (u_1, r) - f (u_2, r) \Vert \le L_u \Vert u_1 - u_2 \Vert)))\)
\(r_0\): \(\in J\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists J^` \in \{J \text{ の全てのオープンインターバル（開区間）たち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } r_0 \in J^`, \exists U^` \in \{U \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}, \exists x: J^` \times U^` \to U (\partial_1 x (r, p) = f (x (r, p), r) \land x (r_0, p) = p)\)
\(\implies\)
\(x \in \{\text{ 全ての } C^k \text{ マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: \(k\)に関してインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: 任意の\((r_1, p_1) \in J^` \times U^`\)、, any bounded open interval around \(r_1\)周りの以下を満たす任意のバウンデッド（有界）オープンインターバル（開区間）\(J_{r_1}\)、つまり、\(r_0, r_1 \in J_{r_1}\)および\(\overline{J_{r_1}} \subseteq J^`\)、\(K := x (\overline{J_{r_1}} \times \{p_1\})\)、\(V := \cup_{k \in K} B_{k, \epsilon} \subseteq U\)、を取る; ステップ2: リプシッツ\(f \vert_{\overline{V} \times \overline{J_{r_1}}}\)、\(L\)を持つ、を取り、\(M := Sup (\{\Vert f (p, r) \Vert \vert (p, r) \in \overline{V} \times \overline{J_{r_1}}\})\)、\(R := Sup (\{\Vert r - r_0 \Vert \vert r \in \overline{J_{r_1}}\})\)、以下を満たす\(\delta\)、つまり、\(2 \delta e^{L R} \lt \epsilon\)および\(B_{p_1, 2 \delta} \subseteq U^`\)を定義し、\(x\)は\(\overline{J_{r_1}} \times \overline{B_{p_1, 2 \delta}}\)を\(V\)中にマップすることを見る; ステップ3: それを\(k = 0\)に対して証明する; ステップ4: それを\(k = 1\)に対して証明する; ステップ5: それが、\(2 \le k'\)とする\(0 \le k \le k' - 1\)に対して成立すると仮定し、それを\(k = k'\)に対して証明する; ステップ6: 本命題を結論する。
ステップ1:
\((r_1, p_1) \in J^` \times U^`\)を任意のものとしよう。
\(J_{r_1}\)を\(r_1\)周りの以下を満たす任意のバウンデッド（有界）オープンインターバル（開近傍）、つまり、\(r_0, r_1 \in J_{r_1}\)および\(\overline{J_{r_1}} \subseteq J^`\)、としよう、それは可能である、なぜなら、\(J^`\)はあるオープンインターバル（開区間）である。
\(x \vert_{J^` \times \{p_1\}}: J^` \times \{p_1\} \to U\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(x\)は、第1引数に関してディファレンシャブル（微分可能）である。
\(\overline{J_{r_1}} \subseteq J^`\)はあるコンパクトサブセット（部分集合）である、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限っておよび任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）で任意のサブスペース（部分空間）内に包含されているものは当該サブスペース（部分空間）上でコンパクトであるという命題によって: \(\overline{J_{r_1}}\)は\(\mathbb{R}\)上でコンパクトであり、\(J^`\)上でコンパクトである。
\(\overline{J_{r_1}} \subseteq J^`\)はコンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
\(\{p_1\}\)はあるコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、なぜなら、\(\{p_1\}\)の任意のオープンカバー（開被覆）に対して、\(p_1\)を包含する任意の要素を取る1要素サブカバー（部分被覆）がある。
\(\overline{J_{r_1}} \times \{p_1\}\)はあるコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題によって。
\(\overline{J_{r_1}} \times \{p_1\}\)は\(J^` \times \{p_1\}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
\(\overline{J_{r_1}} \times \{p_1\}\)は\(J^` \times \{p_1\}\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
\(K := x (\overline{J_{r_1}} \times \{p_1\})\)は\(U\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）に対して、当該ドメイン（定義域）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は当該コドメイン（余域）のコンパクトサブセット（部分集合）であるという命題によって。
以下を満たすある\(\epsilon \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \epsilon\)および各\(k \in K\)に対して、\(B'_{k, 2 \epsilon} \subseteq U\)、がある、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、任意のオープンサブセット（開部分集合）、当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含される任意のコンパクトサブセット（部分集合）に対して、あるポジティブ（正）半径で当該コンパクトサブセット（部分集合）上の各ポイント周りオープン（開）またはクローズド（閉）ボール（球）は当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されるものがあるという命題によって。
\(V := \cup_{k \in K} B_{k, \epsilon} \subseteq U\)としよう。
\(V\)は\(K\)の\(U\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(K\)は\(\mathbb{R}^d\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって、したがって、バウンデッド（有界）である、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってによって。
\(V\)は\(\mathbb{R}^d\)上においてバウンデッド（有界）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、任意のバウンデッドサブセット（有界部分集合）、任意のリアルナンバー（実数）に対して、当該サブセット（部分集合）の各ポイント周りの当該ナンバー（数字）半径のオープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）はバウンデッド（有界）であるという命題によって。
\(\mathbb{R}^d\)上における\(\overline{V}\)はバウンデッド（有界）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意のバウンデッドサブセット（有界部分集合）のクロージャー（閉包）はバウンデッド（有界）で同一ディアミター（直径）を持つという命題によって。
したがって、\(\overline{V}\)は\(\mathbb{R}^d\)上においてコンパクトである、ハイネ-ボレル定理: 任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、それがクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限ってによって。
\(\overline{V} \subseteq U\)、任意のメトリックスペース（計量付き空間）、任意のサブセット（部分集合）、当該サブセット（部分集合）の任意のサブセット（部分集合）、任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）の各ポイント周りの当該ナンバー（数字）半径のオープンボール（開球）が当該サブセット（部分集合）内に包含されている場合、当該サブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）の各ポイント周りの任意のより小さい半径のオープンボール（開球）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）内に包含されているという命題によって。
\(\overline{V}\)は、トポロジカルサブスペース（部分空間）としての\(U\)上においてコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、当該スペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）で任意のサブスペース（部分空間）内に包含されているものは当該サブスペース（部分空間）上でコンパクトであるという命題によって。
ステップ2:
\(f \vert_{\overline{V} \times \overline{J_{r_1}}}\)はあるリプシッツマップ（写像）である、\(L\)を持って、それは\(V\)に依存する、しかし、私たちはそれを単に\(L\)と記す、任意のコンパクトトポロジカルパラメータスペース（空間）を持つ、任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のサブスペース（部分空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものから任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の任意のサブスペース（部分空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものの中への任意のコンティニュアスマップ（連続写像）でローカルにリプシッツ評価たちを満たすものに対して、当該マップ（写像）の任意のコンパクトサブスペース（部分空間）上へのリストリクション（制限）はリプシッツ評価たちを満たすという命題によって。
\(\overline{V} \times \overline{J_{r_1}}\)はあるコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題によって。
\(\overline{V} \times \overline{J_{r_1}}\)は\(U \times J\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題によって、したがって、それはあるコンパクトサブスペース（部分空間）である。
\(f \vert_{\overline{V} \times \overline{J_{r_1}}}: \overline{V} \times \overline{J_{r_1}} \to \mathbb{R}^d\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(M := Sup (\{\Vert f (p, r) \Vert \vert (p, r) \in \overline{V} \times \overline{J_{r_1}}\}) \lt \infty\)としよう、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題によって。
\(R := Sup (\{\Vert r - r_0 \Vert \vert r \in \overline{J_{r_1}}\}) \lt \infty\)としよう、なぜなら、\(J_{r_1}\)はバウンデッド（有界）である。
\(\delta \in \mathbb{R}\)を以下を満たす任意のもの、つまり、\(0 \lt \delta\)、\(2 \delta e^{L R} \lt \epsilon\)（それは、\(2 \delta \lt \epsilon\)を含意する）、\(\overline{B_{p_1, 2 \delta}} \subseteq U^`\)、としよう、それは可能である、なぜなら、\(U^`\)は\(p_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である: ある\(B_{p_1, \delta'} \subseteq U^`\)がある、したがって、\(2 \delta \lt \delta'\)を取る、すると、\(\overline{B_{p_1, 2 \delta}} \subseteq B_{p_1, \delta'} \subseteq U^`\)。
各\(p, p' \in U^`\)に対して、もしも、\(r_0\)周りの以下を満たすあるオープンインターバル（開区間）\(J_{r_0} \subset \overline{J_{r_1}}\)、つまり、その上方で\(x (r, p), x (r, p') \in \overline{V}\)、がある場合、\(u: J_{r_0} \to \mathbb{R}^d, r \mapsto x (r, p) - x (r, p')\)、\(v: [0, \infty) \to [0, \infty), r \mapsto e^{L r} \Vert x (r_0, p) - x (r_0, p') \Vert\)、\(w: [0, \infty) \to [0, \infty), r \mapsto L r\)、を取り、それらは、任意のオープンインターバル（開区間）から任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でユークリディアンノルムを持つものの中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対して、各ポイントイメージ（像）のノルムは、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間のあるディファレンシャブルマップ（微分可能写像）である初期コンディションを持つものによってアッパーバウンデッド（上から限られる）である、もしも、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間のあるリプシッツマップ（写像）で特定コンディションたちを満たすものがある場合、という命題に対するコンディションたち（\(f, g, h\)の代わりに\(u, v, w\)）を満たすことを見よう。
\(u\)はディファレンシャブル（微分可能）である; \(v\)はディファレンシャブル（微分可能）であり、\(v (0) = \Vert x (r_0, p) - x (r_0, p') \Vert = \Vert u (r_0) \Vert\)を満たす; \(w\)はあるリプシッツマップ（写像）である、\(L\)を持って、そして、\(\Vert \partial_1 u (r) \Vert = \Vert f (x (r, p), r) - f (x (r, p'), r) \Vert \le L \Vert x (r, p) - x (r, p') \Vert = w (\Vert u (r) \Vert)\)および\(\partial_1 v (r) = L e^{L r} \Vert x (r_0, p) - x (r_0, p') \Vert = w (v (r))\)を満たす。
したがって、そのケースにおいては、\(\Vert u (r) \Vert = \Vert x (r, p) - x (r, p') \Vert \le v (\vert r - r_0 \vert) = e^{L \vert r - r_0 \vert} \Vert x (r_0, p) - x (r_0, p') \Vert \le e^{L R} \Vert p - p' \Vert\)。
\(x (\overline{J_{r_1}} \times \overline{B_{p_1, 2 \delta}}) \subseteq V\)であることを見よう。
以下を満たすある\((r_2, p_2) \in \overline{J_{r_1}} \times \overline{B_{p_1, 2 \delta}}\)、つまり、\(x (r_2, p_2) \notin V\)、があったと仮定しよう。
\(p_2 \in V\)、なぜなら、\(x (r_0, p_2) = p_2 \in \overline{B_{p_1, 2 \delta}} \subseteq B_{p_1, \epsilon}\)および\(p_1 = x (r_0, p_1) \in K\)。
\(r_2 \neq r_0\)、なぜなら、\(x (r_0, p_2) = p_2 \in V\)。
\(r_0 \lt r_2\)であったと仮定しよう。
\(t := Inf (\{r \in \overline{J_{r_1}} \vert r_0 \lt r \land x (r, p_2) \notin V\})\)としよう、それは、\(r_0 \le t\)として存在することになる、なぜなら、少なくとも、\(x (r_2, p_2) \notin V\)。
\(x (t, p_2) \notin V\)、なぜなら、もしも、\(t\)は\(\overline{J_{r_1}}\)のアッパーバウンダリー（上方境界）であったら、\(t = r_2\)、それが意味することになるのは、\(x (t, p_2) = x (r_2, p_2) \notin V\)、そして、そうでなければ、もしも、\(x (t, p_2) \in V\)であったら、\(V\)はオープン（開）で\(x\)は\(r\)に関してコンティニュアス（連続）であったから、以下を満たすある\(B_{t, \rho} \subseteq J_{r_1}\)、つまり、\(x (B_{t, \rho}, p_2) \subseteq V\)、があることになる、すると、\(t\)は当該インフィマム（下限）ではないことになる、矛盾。
したがって、\(t \neq r_0\)、したがって、\(r_0 \lt t\)。
各\(r \in [r_0, t)\)に対して、\(x (r, p_2) \in V\)、なぜなら、そうでなければ、\(t\)は当該インフィマム（下限）ではないことになる、矛盾; また、\(x (r, p_1) \in V\)、なぜなら、\(x (r, p_1) \in K \subseteq V\)。
したがって、\([r_0, t)\)を包含した以下を満たすあるオープンインターバル（開区間）\(J_{r_0}\)、つまり、各\(r \in J_{r_0}\)に対して、\(x (r, p_1), x (r, p_2) \in V\)、があることになる。
したがって、各\(r \in J_{r_0}\)に対して、\(\Vert x (r, p_2) - x (r, p_1) \Vert \le e^{L R} \Vert p_2 - p_1 \Vert \le e^{L R} 2 \delta \lt \epsilon\)。
\(x\)は\(r\)に関してコンティニュアス（連続）であったから、\(\Vert x (t, p_2) - x (t, p_1) \Vert \le e^{L R} 2 \delta \lt \epsilon\)、任意の非1ポイントインターバル（区間）で任意のクローズドエンド（閉端）を持つものからの任意のコンティニュアス（連続）リアルマップ（実写像）に対して、もしも、当該インテリア（内部）のイメージ（像）がバウンデッド（有界）である場合、当該レンジ（値域）は対応して等しいかより小さいかより大きいバウンデッド（有界）であるという命題によって、それがことになるのは、\(x (t, p_2) \in V\)、なぜなら、\(x (t, p_1) \in K\)、矛盾。
したがって、\(r_0 \le r_2\)を満たすそうした\((r_2, p_2)\)は無い。
\(r_2 \lt r_0\)であったと仮定しよう。
\(t := Sup (\{r \in \overline{J_{r_1}} \vert r \lt r_0 \land x (r, p_2) \notin V\})\)としよう、それは\(t \le r_0\)として存在することになる、なぜなら、少なくとも、\(x (r_2, p_2) \notin V\)。
\(x (t, p_2) \notin V\)、なぜなら、もしも、\(t\)が\(\overline{J_{r_1}}\)のローワーバウンダリー（下方境界）であったら、\(t = r_2\)、それは、\(x (t, p_2) = x (r_2, p_2) \notin V\)を意味することになる、そして、そうでなければ、もしも、\(x (t, p_2) \in V\)であったら、\(V\)はオープン（開）で\(x\)は\(r\)に関してコンティニュアス（連続）であったから以下を満たすある\(B_{t, \rho} \subseteq J_{r_1}\)、つまり、\(x (B_{t, \rho}, p_2) \subseteq V\)、があることになる、すると、\(t\)はサプリマム（上限）でないことになる、矛盾。
したがって、\(t \neq r_0\)、したがって、\(t \lt r_0\)。
各\(r \in (t, r_0]\)に対して、\(x (r, p_2) \in V\)、なぜなら、そうでなければ、\(t\)はサプリマム（上限）でないことになる、矛盾; また、\(x (r, p_1) \in V\)、なぜなら、\(x (r, p_1) \in K \subseteq V\)。
したがって、\((t, r_0]\)を包含した以下を満たすある\(J_{r_0}\)、つまり、各\(r \in J_{r_0}\)に対して、\(x (r, p_1), x (r, p_2) \in V\)、があることになる。
したがって、各\(r \in J_{r_0}\)に対して、\(\Vert x (r, p_2) - x (r, p_1) \Vert \le e^{L R} \Vert p_2 - p_1 \Vert \le e^{L R} 2 \delta \lt \epsilon\)。
\(x\)は\(r\)に関してコンティニュアス（連続）であったから、\(\Vert x (t, p_2) - x (t, p_1) \Vert \le e^{L R} 2 \delta \lt \epsilon\)、任意の非1ポイントインターバル（区間）で任意のクローズドエンド（閉端）を持つものからの任意のコンティニュアス（連続）リアルマップ（実写像）に対して、もしも、当該インテリア（内部）のイメージ（像）がバウンデッド（有界）である場合、当該レンジ（値域）は対応して等しいかより小さいかより大きいバウンデッド（有界）であるという命題によって、それが意味することになるのは、\(x (t, p_2) \in V\)、なぜなら、\(x (t, p_1) \in K\)、矛盾。
したがって、\(r_2 \lt r_0\)を満たすそうした\((r_2, p_2)\)は無い。
したがって、そうしたいかなる\((r_2, p_2)\)も無い。
したがって、\(x (\overline{J_{r_1}} \times \overline{B_{p_1, 2 \delta}}) \subseteq V\)。
ステップ3:
本命題を、\(k = 0\)に対して証明しよう。
ステップ2によって、\(\overline{J_{r_1}} \times \overline{B_{p_1, 2 \delta}}\)からの\(x\)は\(V\)の中へのものである、したがって、各\(r \in J_{r_1}\)（\(J_{r_1}\)が\(J_{r_0}\)として取られる）および\(p, p' \in \overline{B_{p_1, 2 \delta}}\)に対して、\(\Vert x (r, p) - x (r, p') \Vert \le e^{L R} \Vert p - p' \Vert\)。
各\(r \in J_{r_1}\)および\(p \in \overline{B_{p_1, 2 \delta}} \subseteq U^`\)に対して、\(x (r, p) = p + \int^r_{r_0} f (x (s, p), s) d s\)、それは、あるユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）オーディナリーディファレンシャルエクエイション（常微分方程式）である初期コンディションを持つものに対するあるクローズドインターバルドメイン（閉区間定義域）に対するローカルユニーク解存在、当該解のドメイン（定義域）エリアのある明確化を持って、の"証明"のステップ1内で証明された。
\(\Vert x (r, p) - x (r_1, p_1) \Vert = \Vert p - p_1 + \int^r_{r_0} f (x (s, p), s) d s - \int^{r_1}_{r_0} f (x (s, p_1), s) d s \Vert = \Vert p - p_1 + \int^{r_1}_{r_0} (f (x (s, p), s) - f (x (s, p_1), s)) d s + \int^r_{r_1} f (x (s, p), s) d s \Vert \le \Vert p - p_1 \Vert + \Vert \int^{r_1}_{r_0} (f (x (s, p)) - f (x (s, p_1))) d s \Vert + \Vert \int^r_{r_1} f (x (s, p)) d s \Vert \le \Vert p - p_1 \Vert + \int^{r_1}_{r_0} \Vert (f (x (s, p)) - f (x (s, p_1))) \Vert d s + \int^r_{r_1} \Vert f (x (s, p)) \Vert d s \le \Vert p - p_1 \Vert + \int^{r_1}_{r_0} L \Vert x (s, p) - x (s, p_1) \Vert d s + \int^r_{r_1} \Vert f (x (s, p)) \Vert d s \le \Vert p - p_1 \Vert + \int^{r_1}_{r_0} L e^{L R} \Vert p - p_1 \Vert d s + \int^r_{r_1} M d s \le \Vert p - p_1 \Vert + L e^{L R} \Vert p - p_1 \Vert R + M (r - r_1)\)。
それが含意するのは、\(x\)は\((r_1, p_1)\)においてコンティニュアス（連続）であること、明らかに。
\((r_1, p_1) \in J^` \times U^`\)は恣意的であるから、\(x\)は、\(J^` \times U^`\)上方でコンティニュアス（連続）である。
したがって、当該命題は、\(k = 0\)に対して証明された。
ステップ4:
ステップ4戦略: ステップ4-1: \(\partial_1 x (r, p)\)は存在しコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ4-2: \(\partial_{l + 1} x (r, p)\)は存在しコンティニュアス（連続）であることを見る。
本命題を、\(k = 1\)に対して証明しよう。
Step 4-1: ステップ4-1:
各\((r, p) \in J^` \times U^`\)に対して、\(\partial_1 x (r, p) = f (x (r, p), r)\)、したがって、\(\partial_1 x (r, p)\)は存在する、そして、\(x\)はステップ3によって\((r, p)\)においてコンティニュアス（連続）であり\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、\(\partial_1 x\)は\((r, p)\)においてコンティニュアス（連続）である。
ステップ4-2:
ステップ4-2戦略: ステップ4-2-1: \({g_h}^j_l: J_{r_1} \times B_{p_1, \delta} \to \mathbb{R}, (r, p) \mapsto (x^j (r, p + h e_l) - x^j (r, p)) / h\)を定義する; ステップ4-2-2: \(s: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto \delta (1 / 2)^{n + 1}\)および\(s'_l: \mathbb{N} \to \{: J_{r_1} \times B_{p_1, \delta} \to \mathbb{R}^d\}, n \mapsto {g_{s (n)}}_l\)を定義する; ステップ4-2-3: \(s'_l\)はある、マップ（写像）たちのユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）であることを見る、任意のオープンインターバル（開区間）から任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でユークリディアンノルムを持つものの中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対して、各ポイントイメージ（像）のノルムは、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間のあるディファレンシャブルマップ（微分可能写像）である初期コンディションを持つものによってアッパーバウンデッド（上から限られる）である、もしも、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間のあるリプシッツマップ（写像）で特定コンディションたちを満たすものがある場合、という命題を、\(u: J_{r_1} \to \mathbb{R}^{d^2}, r \mapsto {g_h}_l (r, p) - {g_{h'}}_l (r, p)\)、\(v: [0, \infty) \to [0, \infty), r \mapsto 2 c d \rho e^{L R} / (c d A) (e^{c d A r} - 1)\)、\(w: [0, \infty) \to [0, \infty), r \mapsto c d A r + 2 c d \rho e^{L R}\)に対して適用することによって; ステップ4-2-4: \(s'_l\)のコンバージェンス（収束ポイント）は\(\partial_{l + 1} x (r, p)\)であることを見る。
\(\partial_{l + 1} x (r, p)\)は存在し、各\((r, p) \in J^` \times U^`\)においてコンティニュアス（連続）であることを見よう。
ステップ4-2-1:
\(e_l \in \mathbb{R}^d\)を、\(\mathbb{R}^d\)の\(l\)コンポーネント方向のユニット（単位）ベクトルとしよう。
\(h \in B_{0, \delta} \subseteq \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
各\(p \in B_{p_1, \delta}\)に対して、\(p + h e_l \in B_{p_1, 2 \delta}\)、なぜなら、\(dist (p + h e_l, p_1) \le dist (p + h e_l, p) + dist (p, p_1) \lt \delta + \delta = 2 \delta\)。
\({g_h}^j_l: J_{r_1} \times B_{p_1, \delta} \to \mathbb{R}, (r, p) \mapsto (x^j (r, p + h e_l) - x^j (r, p)) / h\)としよう。
\(g_h: J_{r_1} \times B_{p_1, \delta} \to \mathbb{R}^{d^2}\)を、その\((j, l)\)コンポーネントが上記\({g_h}^j_l\)であるマップ（写像）としよう: \(g_h (r, p)\)は\(d \times d\)マトリックス（行列）とみなされる。
\({g_h}_l: J_{r_1} \times B_{p_1, \delta} \to \mathbb{R}^d\)を、その\(j\)コンポーネントが上記\({g_h}^j_l\)であるマップ（写像）としよう: \({g_h}_l (r, p)\)は\(d\)ベクトルとみなされる。
ステップ4-2-2:
シーケンス（列）\(s: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, n \mapsto \delta (1 / 2)^{n + 1}\)のことを考えよう。
すると、\(s'_l: \mathbb{N} \to \{: J_{r_1} \times B_{p_1, \delta} \to \mathbb{R}^d\}, n \mapsto {g_{s (n)}}_l\)はマップ（写像）たちのシーケンス（列）である。
ステップ4-2-3:
\(s'_l\)はあるマップ（写像）たちのユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）であることを見よう。
\(A \in \mathbb{R} := Sup (\{\vert \partial_m f^j (p, r) \vert \vert (p, r) \in \overline{V} \times \overline{J_{r_1}}, j, m \in \{1, ..., d\}\})\)か、もしも、それが\(0\)である場合、\(A\)を任意のポジティブ（正）リアルナンバー（実数）としよう、それは、\(\lt \infty\)として存在する、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）から、ユークリディアントポロジー付きの\mathbb{R}への任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）のイメージ（像）は最小および最大を持つという命題によって、なぜなら、\(\overline{V} \times \overline{J_{r_1}}\)は\(U \times J\)のあるコンパクトサブスペース（部分空間）である（ステップ2内で見られたとおり）、そして、\(\partial_m f^j\)は\(U \times J\)上方でコンティニュアス（連続）である。
\(c \in \mathbb{R}\)を、以下を満たす任意のもの、つまり、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）\(d \times d\)マトリックス（行列）ノルム\(\Vert \bullet \Vert\)およびフロベニウス\(d \times d\)マトリックス（行列）ノルム\(\Vert \bullet \Vert_F\)に対して、\(\Vert \bullet \Vert \lt c \Vert \bullet \Vert_F\): フロベニウスマトリックス（行列）ノルムの定義に対する"注"を参照のこと。
\(u: J_{r_1} \to \mathbb{R}^d, r \mapsto {g_h}_l (r, p) - {g_{h'}}_l (r, p)\)、\(v: [0, \infty) \to [0, \infty), r \mapsto 2 c d \rho e^{L R} / (c d A) (e^{c d A r} - 1)\)、\(w: [0, \infty) \to [0, \infty), r \mapsto c d A r + 2 c d \rho e^{L R}\)を取ろう。
\(u\)、\(v\)、\(w\)は、任意のオープンインターバル（開区間）から任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）でユークリディアンノルムを持つものの中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対して、各ポイントイメージ（像）のノルムは、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間のあるディファレンシャブルマップ（微分可能写像）である初期コンディションを持つものによってアッパーバウンデッド（上から限られる）である、もしも、非ネガティブ（負）インターバル（区間）間のあるリプシッツマップ（写像）で特定コンディションたちを満たすものがある場合、という命題に対するコンディションたちを満たすことを見よう、\(f\)、\(g\)、\(h\)の代わりに\(u\)、\(v\)、\(w\)を持って。
\(u\)はディファレンシャブル（微分可能）である。
\(v\)はディファレンシャブル（微分可能）であり、\(v (0) = \Vert u (r_0) \Vert\)、なぜなら、\(v (0) = 0\)である一方、\(u (r_0) = {g_h}_l (r_0, p) - {g_{h'}}_l (r_0, p) = (x (r_0, p + h e_l) - x (r_0, p)) / h - (x (r_0, p + h' e_l) - x (r_0, p)) / h' = (p + h e_l - p) / h - (p + h' e_l - p) / h' = h e_l / h - h' e_l / h' = e_l - e_l = 0\)、したがって、\(\Vert u (r_0) \Vert = 0\)。
\(w\)はあるリプシッツマップ（写像）である、\(c d A\)を持って、明らかに。
\(\Vert \partial_1 u (r) \Vert \le w (\Vert u (r) \Vert)\)であることを見よう。
\(\partial_1 u (r) = \partial_1 ({g_h}_l (r, p) - {g_{h'}}_l (r, p))\)。
\(\partial_1 {g_h}_l (r, p) = (\partial_1 x (r, p + h e_l) - \partial_1 x (r, p)) / h = (f (x (r, p + h e_l), r) - f (x (r, p), r)) / h\)。
\({y_h}_l (r, p): [0, 1] \to \mathbb{R}^d, s \mapsto f ((1 - s) x (r, p) + s x (r, p + h e_l), r)\)のことを考えよう、それは妥当である、なぜなら、当該ラインセグメント（線分）\(\overline{x (r, p) x (r, p + h e_l)}\)は\(V\)内に包含されている、なぜなら、\(\Vert x (r, p) - x (r, p_1) \Vert \le e^{L R} \Vert p - p_1 \Vert \lt e^{L R} \delta \lt \epsilon / 2\)、ここで、\(k := x (r, p_1) \in K\)、それが意味するのは、\(x (r, p) \in B_{k, \epsilon / 2}\)、そして、\(\Vert x (r, p) - x (r, p + h e_l) \Vert \le e^{L R} \Vert p + h e_l - p \Vert = e^{L R} \vert h \vert \lt e^{L R} \delta \lt \epsilon / 2\)、したがって、\(\Vert x (r, p + h e_l) - k \Vert \le \Vert x (r, p + h e_l) - x (r, p) \Vert + \Vert x (r, p) - k \Vert \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)、\(x (r, p), x (r, p + h e_l) \in B_{k, \epsilon}\)。
\({y_h}_l (r, p)\)はディファレンシャブル（微分可能）である、なぜなら、\(f\)はディファレンシャブル（微分可能）であり、\((1 - s) x (r, p) + s x (r, p + h e_l)\)は\(s\)に関してディファレンシャブル（微分可能）である。
任意のクローズドインターバル（閉区間）から\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中への任意のディファレンシャブル（微分可能）マップ（写像）に対する平均値定理によって、以下を満たすある\(t_j \in (0, 1)\)、つまり、\({y_h}^j_l (r, p) (1) - {y_h}^j_l (r, p) (0) = \partial_1 {y_h}^j_l (r, p) (t_j)\)、がある。
\({p_2}_{l, h, j} (r, p) := (1 - t_j) x (r, p) + t_j x (r, p + h e_l)\)としよう。
\(f^j (x (r, p + h e_l), r) - f^j (x (r, p), r) = {y_h}^j_l (r, p) (1) - {y_h}^j_l (r, p) (0) = \partial_1 {y_h}^j_l (r, p) (t_j) = \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) (x^m (r, p + h e_l) - x^m (r, p)) = \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) {g_h}^m_l (r, p) h\)。
したがって、\(\partial_1 {g_h}^j_l (r, p) = \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) {g_h}^m_l (r, p)\)。
\(\partial_1 ({g_h}^j_l (r, p) - {g_{h'}}^j_l (r, p)) = \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) {g_h}^m_l (r, p) - \partial_m f^j ({p_2}_{l, h', j} (r, p), r) {g_{h'}}^m_l (r, p) = \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) ({g_h}^m_l (r, p) - {g_{h'}}^m_l (r, p)) + \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) {g_{h'}}^m_l (r, p) - \partial_m f^j ({p_2}_{l, h', j} (r, p), r) {g_{h'}}^m_l (r, p) = \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) ({g_h}^m_l (r, p) - {g_{h'}}^m_l (r, p)) + (\partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) - \partial_m f^j ({p_2}_{l, h', j} (r, p), r)) {g_{h'}}^m_l (r, p)\)。
したがって、\(\partial_1 ({g_h}_l (r, p) - {g_{h'}}_l (r, p)) = M_{l, h} (r, p) ({g_h}_l (r, p) - {g_{h'}}_l (r, p)) + (M_{l, h} (r, p) - M_{l, h'} (r, p)) {g_{h'}}_l (r, p)\)、ここで、\(M_{l, h} (r, p)\)はマトリックス（行列）でその\((j, m)\)コンポーネントが\({M_{l, h}}^j_m (r, p) = \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r)\)であるものである: 注意として、\(M_{l, h} (r, p)\)は厳密にはいかなるポイントにおけるヤコビアンでもない、なぜなら、\({p_2}_{l, h, j} (r, p)\)は\(j\)に依存する、が、それは問題ではない。
\(\Vert \partial_1 ({g_h}_l (r, p) - {g_{h'}}_l (r, p)) \Vert = \Vert M_{l, h} (r, p) ({g_h}_l (r, p) - {g_{h'}}_l (r, p)) + (M_{l, h} (r, p) - M_{l, h'} (r, p)) {g_{h'}}_l (r, p) \Vert \le \Vert M_{l, h} (r, p) \Vert \Vert {g_h}_l (r, p) - {g_{h'}}_l (r, p) \Vert + \Vert M_{l, h} (r, p) - M_{l, h'} (r, p) \Vert \Vert {g_{h'}}_l (r, p) \Vert\)、ここで、当該マトリックス（行列）ノルムたちは、ベクトルノルムたちによってインデュースト（誘導された）ノルムたちである、\(\le c \Vert M_{l, h} (r, p) \Vert_F \Vert {g_h}_l (r, p) - {g_{h'}}_l (r, p) \Vert + c \Vert M_{l, h} (r, p) - M_{l, h'} (r, p) \Vert_F \Vert {g_{h'}}_l (r, p) \Vert\)、ここで、\(\Vert \bullet \Vert_F\)はフロベニウスマトリックス（行列）ノルムである。
\(\vert {M_{l, h} (r, p)}^j_m \vert \le A\)であるから、\(\Vert M_{l, h} (r, p) \Vert_F \le d A\)。
\(\Vert {g_h}_l (r, p) \Vert = \Vert x (r, p + h e_l) - x (r, p) \Vert / \vert h \vert \le e^{L R} \Vert p + h e_l - p \Vert / \vert h \vert = e^{L R} \Vert h e_l \Vert / \vert h \vert = e^{L R}\)。
\(\Vert {g_{h'}}_l (r, p) \Vert \le e^{L R}\)、同様に。
\(\partial_m f^j\)は\(U \times J\)上方でコンティニュアス（連続）である、したがって、\(\partial_m f^j\)は\(\overline{V} \times \overline{J_{r_1}}\)上方でユニフォーム（一様）にコンティニュアス（連続）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）たち間任意のコンティニュアスマップ（連続写像）で当該ドメイン（定義域）がインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、当該マップ（写像）の任意のコンパクトドメイン（定義域）上のリストリクション（制限）はユニフォーム（一様）にコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
したがって、\(0 \lt \rho\)を満たす各\(\rho \in \mathbb{R}\)に対して、以下を満たすある\(\lambda \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \lambda\)および\(\sqrt{\Vert p' - p \Vert^2 + \Vert r' - r \Vert^2} \lt \lambda\)を満たす各\((p, r), (p', r') \in \overline{V} \times \overline{J_{r_1}}\)に対して、\(\Vert \partial_m f^j (p', r') - \partial_m f^j (p, r) \Vert \lt \rho\)、がある。
\(\vert h \vert, \vert h' \vert \lt \lambda e^{- L R}\)としよう。
すると、\(\Vert {p_2}_{l, h, j} (r, p) - x (r, p) \Vert = \Vert (1 - t_j) x (r, p) + t_j x (r, p + h e_l) - x (r, p) \Vert = \Vert - t_j x (r, p) + t_j x (r, p + h e_l) \Vert = \Vert t_j (x (r, p + h e_l) - x (r, p)) \Vert = t_j \Vert x (r, p + h e_l) - x (r, p) \Vert = t_j \Vert {g_h}_l (r, p) h \Vert \le t_j \vert h \vert e^{L R} \lt \lambda e^{- L R} e^{L R} = \lambda\)。
\(\Vert {p_2}_{l, h', j} (r, p) - x (r, p) \Vert \lt \lambda\)、同様に。
\(\vert (M_{l, h} (r, p) - M_{l, h'} (r, p))^j_m \vert = \vert \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) - \partial_m f^j ({p_2}_{l, h', j} (r, p), r) \vert = \vert \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) - \partial_m f^j (x (r, p), r) + \partial_m f^j (x (r, p), r) - \partial_m f^j ({p_2}_{l, h', j} (r, p), r) \vert \le \vert \partial_m f^j ({p_2}_{l, h, j} (r, p), r) - \partial_m f^j (x (r, p), r) \vert + \vert \partial_m f^j ({p_2}_{l, h', j} (r, p), r) - \partial_m f^j (x (r, p), r) \vert \lt \rho + \rho = 2 \rho\)、なぜなら、\(\sqrt{\Vert \Vert {p_2}_{l, h, j} (r, p) - x (r, p) \Vert \Vert^2 + \Vert r - r \Vert^2} \lt \lambda\)および\(\sqrt{\Vert \Vert {p_2}_{l, h', j} (r, p) - x (r, p) \Vert \Vert^2 + \Vert r - r \Vert^2} \lt \lambda\)。
したがって、\(\Vert M_{l, h} (r, p) - M_{l, h'} (r, p) \Vert_F \lt 2 \rho d\)。
したがって、\(\Vert \partial_1 u (r) \Vert \lt c d A \Vert u (r) \Vert + 2 c d \rho e^{L R} = w (\Vert u (r) \Vert)\)。
\(\partial_1 v (r) = 2 c d \rho e^{L R} e^{c d A r}\)、ここで、\(w (v (r)) = c d A (2 c d \rho e^{L R} / (c d A) (e^{c d A r} - 1)) + 2 c d \rho e^{L R} = 2 c d \rho e^{L R} (e^{c d A r} - 1) + 2 c d \rho e^{L R} = 2 c d \rho e^{L R} e^{c d A r}\)、したがって、\(\partial_1 v (r) = w (v (r))\)。
したがって、\(u, v, w\)は当該コンディションたちを満たす、したがって、\(\Vert u (r) \Vert \le v (\vert r - r_0 \vert)\)、したがって、\(\Vert {g_h}_l (r, p) - {g_{h'}}_l (r, p) \Vert \le 2 c d \rho e^{L R} / (c d A) (e^{c d A \vert r - r_0 \vert} - 1) \le 2 c d \rho e^{L R} / (c d A) (e^{c d A R} - 1)\)。
したがって、\(0 \lt \alpha\)を満たす任意の\(\alpha \in \mathbb{R}\)に対して、\(\rho\)は\(2 c d \rho e^{L R} / (c d A) (e^{c d A R} - 1) \lt \alpha\)を満たすように選ぶことができる、すると、\(\lambda\)はそれに応じて選ぶことができる、そして、\(N \in \mathbb{N}\)を\(s (N) \lt \lambda e^{- L R}\)を満たすように選ぶことができる、すると、\(N \lt n, n'\)を満たす各\(n, n' \in \mathbb{N}\)に対して、\(s (n), s (n') \lt \lambda e^{- L R}\)、したがって、\(\Vert s'_l (n) (r, p) - s'_l (n') (r, p) \Vert = \Vert {g_{s (n)}}_l (r, p) - {g_{s (n')}}_l (r, p) \Vert \lt \alpha\)。
\(N\)は\((r, p)\)に独立に選ばれたから、\(s'_l\)はユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）である。
したがって、\(s'_l\)はコンティニュアスマップ（連続写像）\(z_l: J_{r_1} \times B_{p_1, \delta} \to \mathbb{R}^d\)へユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）する、任意のセット（集合）から任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の中へのマップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコーシーシーケンス（列）はユニフォーム（一様）にコンバージ（収束）するという命題および任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のメトリックスペース（計量付き空間）の中へのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たちの任意のユニフォーム（一様）にコンバージェント（収束する）シーケンス（列）に対して、当該コンバージェンス（収束マップ（写像））はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\({z_l}^j\)は本当にデリバティブ（微分係数）\(lim_{h \to 0} (x^j (r, p + h e_l) - x^j (r, p)) / h\)である、なぜなら、\(\vert (x^j (r, p + h e_l) - x^j (r, p)) / h - {z_l}^j (r, p) \vert = \vert {g_h}^j_l (r, p) - {z_l}^j (r, p) + {g_{s (n)}}^j_l (r, p) - {g_{s (n)}}^j_l (r, p) \vert \le \vert {g_h}^j_l (r, p) - {g_{s (n)}}^j_l (r, p) \vert + \vert {z_l}^j (r, p) - {g_{s (n)}}^j_l (r, p) \vert\)、そして、\(n\)を、\(\vert {z_l}^j (r, p) - {g_{s (n)}}^j_l (r, p) \vert \lt \alpha / 2\)および\(\alpha / 2\)に対して\(s (n) \lt \lambda e^{- L R}\)を満たすように選ぶことによって、\(\lt \vert {g_h}^j_l (r, p) - {g_{s (n)}}^j_l (r, p) \vert + \alpha / 2\)、そして、\(\alpha / 2\)に対する各\(\vert h \vert \lt \lambda e^{- L R}\)に対して、\(\vert {g_h}^j_l (r, p) - {g_{s (n)}}^j_l (r, p) \vert \lt \alpha / 2\)、したがって、\(\vert (x^j (r, p + h e_l) - x^j (r, p)) / h - {z_l}^j (r, p) \vert \lt \alpha\)。
\(z_l\)は、各\((r_1, p_1) \in J^` \times U^`\)周りで存在しコンティニュアス（連続）であるから、\(z_l\)は、\(J^` \times U^`\)全体上方で存在しコンティニュアス（連続）である。
したがって、本命題は、\(k = 1\)に対して成立する。
ステップ5:
本命題は\(0 \le k \le k' - 1\)、ここで、\(2 \le k'\)、に対して成立すると仮定しよう。
本命題は\(k = k'\)に対して成立することを証明しよう。
\(f\)は\(C^{k' - 1}\)であるから、\(x\)は\(C^{k' - 1}\)である、インダクション（帰納）仮定によって。
\(\partial_1 x^j = f^j (x (r, p), r)\)、それは、\(C^{k - 1}\)である、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって。
\(x^j (r, p) = p^j + \int^r_{r_0} f^j (x (s, p), s) d s\)であるから、\(\partial_{l + 1} x^j (r, p) = \delta^j_l + \int^r_{r_0} \partial_{l + 1} \widetilde{f}^j (s, p) d s\)、ここで、\(\widetilde{f} (s, p)\)は、\(f (x (s, p), s)\)の\(J^` \times U^`\)からのマップ（写像）とみなしたもの、\(C^1\)、任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちの任意のサブセット（部分集合）たち間の任意のマップ（写像）たちで対応するポイントたちにおいて\(C^k\)であるものたち、ここで、\(k\)は\(\infty\)を含む、に対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいて\(C^k\)であるという命題によって、なぜなら、\(\widetilde{f} = f \circ (x, id) \circ \iota\)、ここで、\(\iota: J^` \times U^` \to (J^` \times U^`) \times J^`, (r, p) \mapsto ((r, p), r)\)、ここで、当該インテグラル（積分）下のデリベイション（微分）は可能である、なぜなら、\(\widetilde{f}\)は\(C^1\)である。
\(\partial_{l + 1} \widetilde{f}^j (s, p) = \partial_m f^j (x (s, p), s) \partial_{l + 1} x^m (s, p)\)、チェーンルール（鎖の規則）によって。
したがって、\(\partial_{1 + l} x^j (r, p) = \delta^j_l + \int^r_{r_0} \partial_m f^j (x (s, p), s) \partial_{l + 1} x^m (s, p) d s\)。
したがって、\(\partial_1 \partial_{1 + l} x^j (r, p) = \partial_m f^j (x (r, p), r) \partial_{l + 1} x^m (r, p)\)。
\((\partial_{1 + l} x, x): J^` \times U^` \to \mathbb{R}^{2 d}\)、および\(\partial_1 \partial_{1 + l} x (r, p) = \partial_m f (x (r, p), r) \partial_{l + 1} x^m (r, p)\)と\(\partial_1 x (r, p) = f (x (r, p), r)\)を合体させたもののことを考えよう、それは、あるオーディナリーディファレンシャルイクエイション（常微分方程式）、初期コンディション\((\partial_{1 + l} x, x) (r_0) = ((\delta^j_l), p)\)付き、\(f\)の代わりに\(f'\)を持つ、\(f' ((\partial_{1 + l} x, x), r) = (\partial_m f (x, r) (\partial_{l + 1} x)^m, f (x, r))\)として、である。
\(f'\)は\(C^{k - 1}\)であるから、解\((\partial_{1 + l} x, x)\)は\(C^{k - 1}\)である、インダクション（帰納）仮定によって。
したがって、特に、\(\partial_{1 + l} x\)は\(C^{k - 1}\)である。
\(\partial_1 x\)および\(\partial_{l + 1} x\)たちが\(C^{k - 1}\)であるから、\(x\)は\(C^k\)である。
ステップ6:
インダクションプリンシプル（帰納法）によって、本命題は、各\(k \in \mathbb{N}\)に対して成立する。
