トポロジストのサインカーブとy-軸の\(0\)周りのインターバル（区間）のユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であるがパスコネクテッド（連結された）でないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
- 読者は、コネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、\(\mathbb{R}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのセット（集合）は全てのインターバル（区間）たちのセット（集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
- 読者は、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の2つのトポロジカルサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、それらサブスペース（部分空間）たちの内の1つの上のあるポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他方サブスペース（部分空間）のあるポイントを包含する場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、トポロジストのサインカーブとy-軸の\(0\)周りの任意のインターバル（区間）のユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）であるがパスコネクテッド（連結された）でないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\mathbb{R} \text{ の } 0 \text{ 周りの全てのインターバル（区間）たち }\}\), \(= (r_1, r_2), (r_1, r_2], [r_1, r_2), [r_1, r_2] \text{ のいずれか }\)
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\), \(= \{(x, sin (1 / x)) \vert 0 \lt x\} \cup (\{0\} \times J) \subseteq \mathbb{R}^2\)、でサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\land\)
\(T \notin \{\text{ 全てのパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 注
\(\{(x, sin (1 / x)) \vert 0 \lt x\} \subseteq \mathbb{R}^2\)は、"トポロジストのサインカーブ"と呼ばれる。
または、\(\{(x, sin (1 / x)) \vert 0 \lt x \lt 1\} \subseteq \mathbb{R}^2\)が時々使われるかもしれない、しかし、その違いは和たちの目的に影響しない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\{(x, sin (1 / x)) \vert 0 \lt x\} \subseteq \mathbb{R}^2\)はコネクテッド（連結された）であることを見る; ステップ2: \(\{0\} \times J \subseteq \mathbb{R}^2\)はコネクテッド（連結された）であることを見る; ステップ3: \(T\)はコネクテッド（連結された）であることを見る; ステップ4: \(T\)はパスコネクテッド（連結された）でないことを見る、\((0, 0)\)と\((1 / \pi, 0)\)がパスコネクテッド（連結された）でないことを見ることによって。
ステップ1:
\(f: (0, \infty) \to \mathbb{R}^2, x \mapsto (x, sin (1 / x))\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のファイナイト（有限）プロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、全てのコンポーネントマップ（写像）たちがコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって: \(: x \mapsto x\)はコンティニュアス（連続）である; \(x \mapsto sin (1 / x)\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(: x \mapsto 1 / x\)とサインマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であり、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題が適用される。
\((0, \infty)\)はコネクテッド（連結された）である、\(\mathbb{R}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのセット（集合）は全てのインターバル（区間）たちのセット（集合）であるという命題によって。
\(f ((0, \infty)) = \{(x, sin (1 / x)) \vert 0 \lt x\} \subseteq \mathbb{R}^2\)はコネクテッド（連結された）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコネクテッド（連結された）であるという命題によって。
ステップ2:
\(\{0\} \subseteq \mathbb{R}\)は明らかにコネクテッド（連結された）である。
\(J \subseteq \mathbb{R}\)はコネクテッド（連結された）である、\(\mathbb{R}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのセット（集合）は全てのインターバル（区間）たちのセット（集合）であるという命題によって。
\(\{0\} \times J \subseteq \mathbb{R}^2\)はコネクテッド（連結された）である、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコネクテッド（連結された）であるという命題、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
ステップ3:
\(U_{0, 0} \subseteq \mathbb{R}^2\)を、\((0, 0)\)の\(\mathbb{R}^2\)上における任意のオープンネイバーフッド（開近傍）であるとしよう。
以下を満たすある\(B_{(0, 0), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^2\)、つまり、\(B_{(0, 0), \epsilon} \subseteq U_{0, 0}\)、がある。
以下を満たすある\(0 \lt x \lt \epsilon\)、つまり、\(1 / x = n \pi\)、ここで、\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、がある。
\((x, sin (1 / x)) = (x, 0) \in B_{(0, 0), \epsilon} \subseteq U_{0, 0}\)。
任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の2つのトポロジカルサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）はコネクテッド（連結された）である、もしも、それらサブスペース（部分空間）たちの内の1つの上のあるポイントの各ネイバーフッド（近傍）が他方サブスペース（部分空間）のあるポイントを包含する場合、という命題によって、\(T\)はコネクテッド（連結された）である。
ステップ4:
\(T\)はパスコネクテッド（連結された）でないことを見よう、\((1 / \pi, 0)\)と\((0, 0)\)はパスコネクテッド（連結された）でないことを見ることによって。
以下を満たすあるパス\(\gamma: [0, 1] \to T\)、つまり、\(\gamma (0) = (1 / \pi, 0)\)および\(\gamma (1) = (0, 0)\)、があったと仮定しよう。
\(\pi^1: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)を、第1コンポーネントへのプロジェクション（射影）、それは、明らかにコンティニュアス（連続）であることになる、としよう。
\(\pi^1 \circ \gamma: [0, 1] \to \mathbb{R}\)はコンティニュアス（連続）であることになる、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(r := Inf (\{r' \in [0, 1] \vert \pi^1 \circ \gamma (r') = 0\})\)を取ろう、それは存在することになる、なぜなら、少なくとも、\(\pi^1 \circ \gamma (1) = 0\)、したがって、\(\{r' \in [0, 1] \vert \pi^1 \circ \gamma (r') = 0\}\)は空でなくローワーバウンデッド（下に有界）であることになる、そして、\(\mathbb{R}\)の任意の空でないローワーバウンデッド（下に有界）サブセット（部分集合）はインフィマム（下限）を持つ、よく知られているとおり。
\(\pi^1 \circ \gamma (r) = 0\)、なぜなら、そうでなければ、以下を満たすある\(B_{\pi^1 \circ \gamma (r), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}\)、ここで、\(\epsilon \lt \pi^1 \circ \gamma (r)\)、およびある\(B_{r, \delta} \subseteq [0, 1]\)、つまり、\(\pi^1 \circ \gamma (B_{r, \delta}) \subseteq B_{\pi^1 \circ \gamma (r), \epsilon}\)、があることになる、なぜなら、\(\pi^1 \circ \gamma\)はコンティニュアス（連続）であった、そして、\(r\)はインフィマム（下限）でないことになる。
\(\gamma (r) = (0, a)\)としよう。
\(B_{(0, a), \epsilon} \subseteq \mathbb{R}^2\)、ここで、\(\epsilon \lt 1\)、としよう。
以下を満たすある\(\delta \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \lt \delta\)、\([r - \delta, r] \subseteq [0, 1]\)、\(\gamma ([r - \delta, r]) \subseteq B_{(0, a), \epsilon}\)、があることになる、なぜなら、\(\gamma\)はコンティニュアス（連続）であった。
\(0 \lt \pi^1 \circ \gamma (r - \delta)\)、なぜなら、\(r\)はインフィマム（下限）であった。
\(\pi^1 \circ \gamma ([r - \delta, r])\)は、\([0, \pi^1 \circ \gamma (r - \delta)]\)を包含するあるインターバル（区間）であることになる、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、任意のコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコネクテッド（連結された）であるという命題および\(\mathbb{R}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのセット（集合）は全てのインターバル（区間）たちのセット（集合）であるという命題によって。
したがって、以下を満たすある\(t \in [r - \delta, r]\)、つまり、\(\pi^1 \circ \gamma (t) \in (0, \pi^1 \circ \gamma (r - \delta))\)で、\(\pi^1 \circ \gamma (t) = 1 / (n \pi + 1 / 2 \pi) \text{ または } 1 / (n \pi + 3 / 2 \pi)\)、ここで、\(n \in \mathbb{N}\)、があることになる。
すると、\(\gamma (t) = (1 / (n \pi + 1 / 2 \pi), 1) \text{ または } (1 / (n \pi + 3 / 2 \pi), -1)\)。
しかし、\(a\)が何であったにせよ、\((1 / (n \pi + 1 / 2 \pi), 1)\)および\((1 / (n \pi + 3 / 2 \pi), -1)\)の両方が\(B_{(0, a), \epsilon}\)内にあることはあり得ない、なぜなら、\(\epsilon \lt 1\): もしも、\(a - \epsilon \lt 1 \lt a + \epsilon\)である場合、\(- 1 \lt 1 - 2 \epsilon \lt a - \epsilon\); もしも、\(a - \epsilon \lt -1 \lt a + \epsilon\)である場合、\(a + \epsilon \lt -1 + 2 \epsilon \lt 1\)。
それは、\(\gamma ([r - \delta, r]) \subseteq B_{(0, a), \epsilon}\)であることに反する矛盾。
したがって、そうした\(\gamma\)はない。
したがって、\((1 / (n \pi), 0)\)は\((0, 0)\)はパスコネクテッド（連結された）ではない。
