コネクテッド（連結された）コンポーネントは、ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上においてクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルコネクテッド（連結された）コンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントの定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネントは、対応するクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネント内に包含されるという命題を認めている。
- 読者は、任意のクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントは任意のローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上においてオープン（開）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、各クワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントはクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間任意のコンスタントマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のクワジコネクテッド（ほぼ連結された）トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコネクテッド（連結された）コンポーネントは、任意のローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上において対応するクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(C\): \(\in \{T \text{ の全てのコネクテッド（連結された）コンポーネントたち }\}\)
\(C'\): \(\in \{T \text{ の全てのクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントたち }\}\)で、任意の固定された\(c \in C\)に対して\(c \in C'\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(C = C'\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(C \subseteq C'\)および\(C'\)はユニークに決定されることを見る; ステップ2: \(C'\)はオープン（開）であることを見る; ステップ3: トポロジカルサブスペース（部分空間）としての\(C'\)はクワジコネクテッド（ほぼ連結された）であり\(C'\)はコネクテッド（連結された）であることを見る; ステップ4: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(C \subseteq C'\)、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、各コネクテッド（連結された）コンポーネントは、対応するクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネント内に包含されるという命題によって。
\(C'\)はユニークに決定される、なぜなら、\(C'\)はあるイクイバレンス（同値）クラスであり、\(T\)の当該ディビジョン（分割）の一部である。
ステップ2:
\(C' \subseteq T\)はオープン（開）である、任意のクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントは任意のローカルにコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）上においてオープン（開）であるという命題によって。
ステップ3:
トポロジカルサブスペース（部分空間）としての\(C'\)はクワジコネクテッド（ほぼ連結された）であることを見よう。
注意として、\(C'\)があるクワジコネクテッド（ほぼ連結された）であるというのは、\(C'\)があるクワジコネクテッド（ほぼ連結された）トポロジカルスペース（空間）であるのとは異なる、一般に、なぜなら、前者に対しては、\(T\)から任意のディスクリート（離散）トポロジカルスペース（空間）たちの中への全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのセット（集合）のことを考える、その一方で、後者に対しては、\(C'\)から任意のディスクリート（離散）トポロジカルスペース（空間）たちの中への全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのセット（集合）のことを考える。
ステップ3戦略: ステップ3-1: \(C'\)から任意のディスクリート（離散）トポロジカルスペース（空間）たちの中への全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのセット（集合）\(F\)を取り、各\(f: C' \to T' \in F\)に対して、\(f\)をあるコンティニュアス（連続）\(f': T \to T'\)へ拡張する; ステップ3-2: 各\(c'_1, c'_2 \in C'\)に対して、\(f (c'_1) = f' (c'_1) = f' (c'_2) = f (c'_2)\)であることを見る。
ステップ3-1:
\(C'\)から任意のディスクリート（離散）トポロジカルスペース（空間）たちの中への全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たちのセット（集合）\(F\)を取ろう。
\(f: C' \to T' \in F\)を任意のものとしよう。
\(t' \in T'\)を任意のものとしよう。
\(f\)のエクステンション（拡張）\(f': T \to T', t \mapsto f (t) \text{ 、 } t \in C' \text{ である時 }; \mapsto t' \text{ 、その他の時 }\).
\(f'\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって: \(\{C', T \setminus C'\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）である、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、各クワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントはクローズド（閉）であるという命題によって、\(f' \vert_{C'}: C' \to T' = f\)はコンティニュアス（連続）であり、\(f' \vert_{T \setminus C'}: T \setminus C' \to T'\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それはコンスタントである、任意のトポロジカルスペース（空間）間任意のコンスタントマップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
ステップ3-2:
各\(c'_1, c'_2 \in C'\)に対して、\(f (c'_1) = f' (c'_1) = f' (c'_2) = f (c'_2)\)、なぜなら、\(C'\)はあるクワジコネクテッド（ほぼ連結された）コンポーネントである。
それが意味するのは、\(C'\)はあるクワジコネクテッド（ほぼ連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）であること。
ステップ4:
したがって、\(C'\)はあるコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意のクワジコネクテッド（ほぼ連結された）トポロジカルスペース（空間）はコネクテッド（連結された）であるという命題によって。
したがって、\(C' \subseteq C\)、なぜなら、\(C'\)上の各ポイントたちペアはコネクテッド（連結された）である、したがって、\(C'\)の全てのポイントたちは、同一コネクテッド（連結された）コンポーネント内にある。
したがって、\(C = C'\)。
