ユークリディアンメトリック（計量付き）トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、サブセット（部分集合）はクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、（ハイネ-ボレル定理）、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）のバウンデッドサブセット（有界部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアンメトリック（計量付き）トポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、当該サブセット（部分集合）はクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、（ハイネ-ボレル定理）、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンメトリック（計量付き）トポロジカルスペース（空間） }\)
\(S\): \(\subseteq \mathbb{R}^d\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \in \{\mathbb{R}^d \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\)
\(\iff\)
\(S \in \{\mathbb{R}^d \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\} \cap \{\mathbb{R}^d \text{ の全てのバウンデッド（有界）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のクローズドインターバル（閉区間）\([r_1, r_2] \subseteq \mathbb{R}\)はコンパクトであることを見る; ステップ2: \(S\)はコンパクトであると仮定する; ステップ3: \(S\)はクローズド（閉）であることを見る; ステップ4: \(S\)はバウンデッド（有界）であることを見る; ステップ4: \(S\)はクローズド（閉）でバウンデッド（有界）であると仮定する; ステップ5: \(S \subseteq [-n, n]^d\)であること、\(S\)は\([-n, n]^d\)上でコンパクトであること、\(S\)は\(\mathbb{R}^d\)上でコンパクトであることを見る。
ステップ1:
任意のクローズドインターバル（閉区間）\([r_1, r_2] \subseteq \mathbb{R}\)はあるコンパクトサブセット（部分集合）であることを見よう。
\(\widetilde{U} := \{U_j \subseteq \mathbb{R} \vert j \in J\}\)を\([r_1, r_2]\)の任意のオープンカバー（開被覆）としよう。
\(Q := \{r \in [r_1, r_2] \vert [r_1, r] \text{ は } \widetilde{U} \text{ のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持つ }\}\)を定義しよう: \(\widetilde{U}\)は\([r_1, r]\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
\(Q\)は空でない、なぜなら、\(r_1 \in Q\)（\(r_1 \in U_j\)を満たすある\(U_j\)があり、\(\{U_j\}\)はあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）である）、そして、\(Q\)はアッパーバウンデッド（上に有界）である、なぜなら、\(r \le r_2\)。
したがって、サプリマム（上限）\(r' := Sup (Q)\)が存在する、\(\mathbb{R}\)のあるプロパティとして、よく知られているとおり。
\(r_1 \le r' \le r_2\)、なぜなら、もしも、\(r_2 \lt r'\)であったら、以下を満たすある\(r'' \in Q\)、つまり、\(r_2 \lt r''\)、があることになる、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって、矛盾。
\(r' \in Q\)であることを見よう。
\(r' \notin Q\)であると仮定しよう。
\(r_1 \lt r'\)、なぜなら、\(r' \neq r_1\)、なぜなら、\(r_1 \in Q\)。
以下を満たすある\(U_j \in \widetilde{U}\)。つまり、\(r' \in U_j\)、があることになる、なぜなら、\(r' \in [r_1, r_2]\)、ある\(B_{r', \epsilon} \subseteq U_j\)があることになる、したがって、以下を満たすある\(r''\)、つまり、\(r_1 \lt r'' \lt r'\)および\(r'' \in B_{r', \epsilon} \subseteq U_j\)、があることになる、しかし、以下を満たすある\(r''' \in Q\)、つまり、\(r'' \lt r'''\)、があることになる、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該セット（集合）の任意の要素は当該サブセット（部分集合）のサプリマム（上限）である、もしも、当該要素が当該サブセット（部分集合）の各要素に等しいかそれより大きく、当該要素より小さい当該セット（集合）の各要素に対して、より大きい当該サブセット（部分集合）のある要素がある場合、そしてその場合に限って、という命題によって、それが意味することになるのは、\([r_1, r''']\)はあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持っていたということ、すると、当該サブカバー（部分被覆）プラス\(U_j\)は\([r_1, r']\)に対するあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）だということになる、なぜなら、各\(r \in [r_1, r''']\)に対して、\(r\)は\([r_1, r''']\)に対する当該サブカバー（部分被覆）内に包含されていた、その一方で、各\(r \in (r''', r']\)に対して、\(r \in B_{r', \epsilon} \subseteq U_j\)、それが意味することになるのは、\(r' \in Q\)、\(r' \notin Q\)に反する矛盾。
\(r' \lt r_2\)であると仮定しよう。
以下を満たすある\(U_j \in \widetilde{U}\)、つまり、\(r' \in U_j\)、があることになり、ある\(B_{r', \epsilon} \subseteq U_j\)があることになり、以下を満たすある\(r'' \in B_{r', \epsilon}\)、つまり、\(r' \lt r'' \lt r_2\)、があることになる。
すると、\([r_1, r']\)は\(\widetilde{U}\)のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持っていたところ、\([r_1, r'']\)は当該サブカバー（部分被覆）プラス\(U_j\)をあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）として持つことになる、なぜなら、各\(r \in [r_1, r']\)に対して、\(r\)は\([r_1, r']\)に対する当該サブカバー（部分被覆）内に包含されていた、その一方、各\(r \in (r', r'']\)に対して、\(r\)は\(B_{r', \epsilon} \subseteq U_j\)内に包含されていることになる、それが意味するのは、\(r'' \in Q\)、\(r'\)がサプリマム（上限）であったことに反する矛盾。
したがって、\(r' = r_2\)。
したがって、\([r_1, r_2]\)はあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持つ。
したがって、\([r_1, r_2]\)はあるコンパクトサブセット（部分集合）である。
ステップ2:
\(S\)はコンパクトであると仮定しよう。
ステップ3:
\(\mathbb{R}^d\)はハウスドルフである、よく知られているとおり。
\(S \subseteq \mathbb{R}^d\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
ステップ4:
\(\{B_{0, n} \subseteq \mathbb{R} \vert n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\}\)は\(S\)のあるオープンカバー（開被覆）である、なぜなら、各\(s \in S\)に対して、\(s \in B_{0, n}\)、ある\(n\)に対して。
\(S\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{B_{0, n} \vert n \in N\}\)、ここで、\(N \subseteq \mathbb{N} \setminus \{0\}\)はあるファイナイト（有限）サブセット（部分集合）、がある。
\(n' := Max (N)\)があり、\(S \subseteq B_{0, n'}\)。
したがって、\(S\)はバウンデッド（有界）である。
ステップ4:
\(S\)はクローズド（閉）でバウンデッド（有界）であると仮定しよう。
ステップ5:
以下を満たすある\(r \in \mathbb{R}\)、つまり、\(S \subseteq [-r, r]^d\)、がある。
\([-r, r]\)はコンパクトである、ステップ1によって。
\([-r, r]^d\)、当該プロダクトトポロジカルスペース（空間）として、はコンパクトである、任意のファイナイト（有限）数のコンパクトトポロジカルスペース（空間）たちのプロダクトはコンパクトであるという命題によって。
\([-r, r]^d \subseteq \mathbb{R}^d\)、当該トポロジカルサブスペース（部分空間）として、は、\([-r, r]^d\)、プロダクトトポロジカルスペース（空間）として、である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題および\(d\)ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）は、いくつかより低いディメンショナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）たちの任意のコンビネーションのプロダクトで、プロダクトのディメンション（次元）が\(d\)へ等しいものへホメオモーフィック（位相同形写像）であるという命題によって。
したがって、\([-r, r]^d \subseteq \mathbb{R}^d\)、当該トポロジカルサブスペース（部分空間）として、はコンパクトである。
\(S\)、\(\mathbb{R}^d\)上でクローズド（閉）、は、\([-r, r]^d\)上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって: \(S = S \cap [-r, r]^d\)。
したがって、\(S\)は\([-r, r]^d\)上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって。
すると、\(S\)は\(\mathbb{R}^d\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。
