フロワーマップ（写像）でコドメイン（余域）を\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメジャラブルスペース（測定可能空間）に拡張されたものはメジャラブル（測定可能）であることの記述/証明
話題
About: メジャラブルスペース（測定可能空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フロワーマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の定義を知っている。
- 読者は、メジャラブルスペース（測定可能空間）たち間のメジャラブル（測定可能）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、全ての上方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての上方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方オープン（開）上方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方オープン（開）上方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方クローズド（閉）上方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方クローズド（閉）上方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）のいずれかによって生成されるという命題を認めている。
- 読者は、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間の任意のマップ（写像）に対して、もしも、当該コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の任意のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、フロワーマップ（写像）で当該コドメイン（余域）を\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアンメジャラブルスペース（測定可能空間）に拡張されたものはメジャラブル（測定可能）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}\): \(= \text{ 当該ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)で、ボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\([0, \infty)\): \(\subseteq \mathbb{R}\)で、サブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）を持つもの
\(fl\): \(: [0, \infty) \to \mathbb{N}, r \mapsto Max (\{n \in \mathbb{N} \vert n \le r\})\)
\(fl'\): \(: [0, \infty) \to \mathbb{R}\), \(= fl \text{ の当該コドメイン（余域）エクステンション（拡張） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(fl' \in \{\text{ 全てのメジャラブルマップ（測定可能写像）たち }\}\)
//
2: 注
ある即座の系として、\(fl\)はメジャラブル（測定可能）である、\(\mathbb{N}\)を当該サブスペース（部分空間）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）として、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間任意のメジャラブルマップ（測定可能写像）に対して、任意のドメイン（定義域）サブスペース（部分空間）および任意のコドメイン（余域）サブスペース（部分空間）に関するリストリクション（制限）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(B (\mathbb{R})\)は\(\{(- \infty, r] \subseteq \mathbb{R} \vert r \in \mathbb{R}\}\)によって生成されることを見る; ステップ2: \({fl'}^{-1} ((- \infty, r])\)はメジャラブル（測定可能）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(B (\mathbb{R})\)は\(\{(- \infty, r] \subseteq \mathbb{R} \vert r \in \mathbb{R}\}\)によって生成される、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のボレル\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）は、全ての上方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての上方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方オープン（開）上方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方オープン（開）上方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方クローズド（閉）上方オープン（開）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）、全ての下方クローズド（閉）上方クローズド（閉）バウンデッド（有界）インターバル（区間）たちのセット（集合）のいずれかによって生成されるという命題によって。
ステップ2:
\({fl'}^{-1} ((- \infty, r]) \subseteq [0, \infty)\)はメジャラブル（測定可能）であることを見よう。
\(r \lt 0\)である時、\({fl'}^{-1} ((- \infty, r]) = \emptyset\)はメジャラブル（測定可能）である。
そうでない場合、\({fl'}^{-1} ((- \infty, r]) = [0, fl (r + 1))\)、なぜなら、各\(r' \in {fl'}^{-1} ((- \infty, r])\)に対して、\(fl' (r') \in (- \infty, r]\)、したがって、\(fl (r') = fl' (r') \le r\)、したがって、\(r' \lt fl (r + 1)\)、フロワーマップ（写像）の定義に対する"注"内で言及されたプロパティ5)によって、したがって、\(r' \in [0, fl (r + 1))\); 各\(r' \in [0, fl (r + 1))\)に対して、\(r' \lt fl (r + 1)\)、したがって、\(fl' (r') = fl (r') \le r\)、フロワーマップ（写像）の定義に対する"注"内で言及されたプロパティ5)によって、したがって、\(fl' (r') \in (- \infty, r]\)、したがって、\(r' \in {fl'}^{-1} ((- \infty, r])\)、そして、\([0, fl (r + 1)) = (- \infty, fl (r + 1)) \cap [0, \infty)\)はメジャラブル（測定可能）である。
ステップ3:
したがって、\(fl'\)はメジャラブル（測定可能）である、任意のメジャラブルスペース（測定可能空間）たち間の任意のマップ（写像）に対して、もしも、当該コドメイン（余域）\(\sigma\)-アルジェブラ（多元環）の任意のジェネレーター（生成子）の各要素のプリイメージ（前像）がメジャラブル（測定可能）である場合、当該マップ（写像）はメジャラブル（測定可能）であるという命題によって。
