ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）トポロジカルグループ（群）の定義
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のディメンション（次元）の定義を知っている。
- 読者は、\(n \times n\)インバーティブル（可逆）リアル（実）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のモジュール（加群）で任意の\(d\)-要素たちベーシス（基底）を持つものおよび当該モジュール（加群）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）に対して、当該ジェネラルリニア（線形）グループ（群）からインバーティブル（可逆）\(d \times d\)リング（環）マトリックス（行列）たちのグループ（群）の上への、当該ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）のジェネラルリニア（線形）トポロジカルグループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } d \text{ -ディメンショナル（次元） } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のベーシス（基底）\(B\)を持つもの
\(*GL (V)\): \(= V \text{ のジェネラルリニア（線形）グループ（群） }\), \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
\( M_d (\mathbb{R})^{\times}\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
\( g\): \(: GL (V) \to M_d (\mathbb{R})^{\times}\), \(= \text{ カノニカル（正典）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)、任意のモジュール（加群）で任意の\(d\)-要素たちベーシス（基底）を持つものおよび当該モジュール（加群）のジェネラルリニア（線形）グループ（群）に対して、当該ジェネラルリニア（線形）グループ（群）からインバーティブル（可逆）\(d \times d\)リング（環）マトリックス（行列）たちのグループ（群）の上への、当該ベーシス（基底）に関するカノニカル（正典）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）があるという命題内で定義されたもの、\(B\)に関して
//
コンディションたち:
\(g \in \{\text{ 全てのホメオモーフィズム（位相同形写像）たち }\}\)
//
\(GL (V)\)のトポロジーは、実のところ、\(B\)の選択から独立している、"注"内に見られるとおり。
2: 注
言い換えると、\(GL (V)\)には、\(g\)をあるホメオモーフィズム（位相同形写像）にするトポロジーが与えられる、それは妥当である、なぜなら、\(g\)はあるバイジェクション（全単射）である: 任意の\(S \subseteq GL (V)\)はオープン（開）である、もしも、\(g (S) \subseteq M_d (\mathbb{R})^{\times}\)はオープン（開）である場合、そしてその場合に限って。
\(GL (V)\)は本当にあるトポロジカルグループ（群）である、任意のグループ（群）トポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、当該スペース（空間）から任意のトポロジカルグループ（群）の上への任意の'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ホメオモーフィズム（位相同形写像）がある場合、当該スペース（空間）はあるトポロジカルグループ（群）であるという命題によって。
\(GL (V)\)のトポロジーは、実のところ、\(B = \{b^1, ..., b^d\}\)の選択から独立していることを見よう。
\(B' = \{b'^1, ..., b'^d\}\)を\(V\)に対する任意の他のベーシス（基底）としよう。
\(g': GL (V) \to M_d (\mathbb{R})^{\times}\)を、\(B'\)に関するカノニカル（正典）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）としよう。
\(GL' (V)\)は、\(GL (V)\)のグループ（群）で\(g'\)によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものを表わす、としよう。
\(b'^l = N^l_j b^j\)、ある\(d \times d\) \(\mathbb{R}\)マトリックス（行列）に対して。
各\(f \in GL (V)\)に対して、\(g' (f) = N g (f) N^{- 1}\)、モジュール（加群）で任意の同一ファイナイト（有限）カーディナリティ（濃度）の任意の\(2\)個のベーシス（基底）たちを持つ任意のものおよび任意のモジュール（加群）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、当該ベーシス（基底）たちの変更に関する当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題によって。
\(e: M_d (\mathbb{R})^{\times} \to M_d (\mathbb{R})^{\times}, M \mapsto N M N^{- 1}\)を取ろう、それはコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(M_d (\mathbb{R})^{\times}\)はあるトポロジカルグループ（群）であり\(e (M) = m (N, m (M, N^{- 1}))\)、ここで、\(m\)は\(M_d (\mathbb{R})^{\times}\)上のマルチプリケーション（乗法）である、それはコンティニュアス（連続）である: \(e = m (N, \bullet) \circ m (\bullet, N^{-1})\)であり\(m (N, \bullet)\)および\(m (\bullet, N^{-1})\)はコンティニュアス（連続）である、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）から任意のトポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアスマップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）のいくつかのコンポーネントたちの任意のセット（集合）を固定したインデュースト（誘導された）マップ（写像）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、そして、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題が適用される。
\(e^{- 1}: M_d (\mathbb{R})^{\times} \to M_d (\mathbb{R})^{\times}, M \mapsto N^{- 1} M N\)がある、なぜなら、\(e^{- 1} \circ e (M) = N^{- 1} e (M) N = N^{- 1} N M N^{- 1} N = M = id (M)\)および\(e \circ e^{- 1} (M) = N e^{- 1} (M) N^{- 1} = N N^{- 1} M N N^{- 1} = M = id (M)\)、それはコンティニュアス（連続）である、前と同様。
したがって、\(e\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
\(g'^{- 1} \circ e \circ g: GL (V) \to GL' (V) = id\)、なぜなら、\(g'^{- 1} \circ e \circ g (f) = g'^{- 1} (N g (f) N^{- 1}) = f\)、なぜなら、\(g' (f) = N g (f) N^{- 1}\)。
\(g'^{- 1} \circ e \circ g\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、\(g\)、\(e\)、\(g'^{- 1}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである。
したがって、各\(S \subseteq GL (V)\)に対して、\(S = id (S) = g'^{- 1} \circ e \circ g (S) \subseteq GL' (V)\)はオープン（開）である、もしも、\(S \subseteq GL (V)\)はオープン（開）である場合、そしてその場合に限って。
したがって、\(GL (V)\)および\(GL' (V)\)は同一トポロジーを持つ。
