コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）-プロダクト上のマルチプリケーション（乗法）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(m \times n\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）プロダクト\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）たちの任意のマルチプリケーション（乗法）可能ファイナイト（有限）-プロダクト上のマルチプリケーション（乗法）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_{n_1 \times n_2} (\mathbb{C})\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間） }\)
\(M_{n_2 \times n_3} (\mathbb{C})\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間） }\)
\(...\):
\(M_{n_m \times n_{m + 1}} (\mathbb{C})\): \(= \text{ 当該コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間） }\)
\(m\): \(: M_{n_1 \times n_2} (\mathbb{C}) \times ... \times M_{n_m \times n_{m + 1}} (\mathbb{C}) \to M_{n_1 \times n_{m + 1}} (\mathbb{C})\), \(= \text{ 当該マルチプリケーション（乗法） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(m \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: take the homeomorphisms, \(h_{n_j, n_l}: M_{n_j, n_l} (\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{n_j n_l} \to \mathbb{R}^{2 n_j n_l}\), and see that \(m = {h_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} \circ h_{n_1, n_{m + 1}} \circ m \circ ({h_{n_1, n_2}}^{- 1}, ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1}) \circ (h_{n_1, n_2}, ..., h_{n_m, n_{m + 1}})\); Step 2: see that \(h_{n_1, n_{m + 1}} \circ m \circ ({h_{n_1, n_2}}^{- 1}, ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1})\) is continuous; Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
Let us take the homeomorphisms, for each \(n_j, n_l \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\), \(h_{n_j, n_l}: M_{n_j, n_l} (\mathbb{C}) \to \mathbb{C}^{n_j n_l} \to \mathbb{R}^{2 n_j n_l}\), by which the topology of \(M_{n_j, n_l} (\mathbb{C})\) is defined.
\(m = {h_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} \circ h_{n_1, n_{m + 1}} \circ m \circ ({h_{n_1, n_2}}^{- 1}, ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1}) \circ (h_{n_1, n_2}, ..., h_{n_m, n_{m + 1}})\), because for each \((M_1, ..., M_m) \in M_{n_1 \times n_2} (\mathbb{C}) \times ... \times M_{n_m \times n_{m + 1}} (\mathbb{C})\), \({h_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} \circ h_{n_1, n_{m + 1}} \circ m \circ ({h_{n_1, n_2}}^{- 1}, ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1}) \circ (h_{n_1, n_2}, ..., h_{n_m, n_{m + 1}}) (M_1, ..., M_m) = {h_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} (h_{n_1, n_{m + 1}} (m (({h_{n_1, n_2}}^{- 1} (h_{n_1, n_2} (M_1)), ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1} (h_{n_m, n_{m + 1}} (M_m)))))) = {h_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} (h_{n_1, n_{m + 1}} (m (M_1, ..., M_m))) = m (M_1, ..., M_m)\).
Step 2:
Let us see that \(h_{n_1, n_{m + 1}} \circ m \circ ({h_{n_1, n_2}}^{- 1}, ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1})\) is continuous.
\(\mathbb{R}^{2 n_1 n_2} \times ... \times \mathbb{R}^{2 n_m n_{m + 1}}\) is a topological subspace of the finite-product \(C^{\infty}\) manifold, \(\mathbb{R}^{2 n_1 n_2} \times ... \times \mathbb{R}^{2 n_m n_{m + 1}}\), and \(\mathbb{R}^{2 n_1 n_{m + 1}}\) is a topological subspace of the \(C^{\infty}\) manifold, \(\mathbb{R}^{2 n_1 n_{m + 1}}\), and by the standard charts for \(\mathbb{R}^{2 n_1 n_2} \times ... \times \mathbb{R}^{2 n_m n_{m + 1}}\) and \(\mathbb{R}^{2 n_1 n_{m + 1}}\), each component of each \((v_1, ..., v_m) \in \mathbb{R}^{2 n_1 n_2} \times ... \times \mathbb{R}^{2 n_m n_{m + 1}}\), which is a component of a \(v_j \in \mathbb{R}^{2 n_j n_{j + 1}}\), becomes the real or imaginary part of a component of \({h_{n_j, n_{j + 1}}}^{- 1} (v_j)\), each component of \(m ({h_{n_1, n_2}}^{- 1} (v_1), ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1} (v_m))\) is a polynomial of the components of \({h_{n_j, n_{j + 1}}}^{- 1} (v_j)\) s, whose real and imaginary parts are some polynomials of the components of \(v_j\) s, and those real and imaginary parts of the components of \(m ({h_{n_1, n_2}}^{- 1} (v_1), ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1} (v_m))\) become the components of \(h_{n_1, n_{m + 1}} \circ m \circ ({h_{n_1, n_2}}^{- 1}, ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1}) (v_1, ..., v_m)\), so, the components of the components function of \(h_{n_1, n_{m + 1}} \circ m \circ ({h_{n_1, n_2}}^{- 1}, ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1})\) are some polynomials, which are continuous.
So, \(h_{n_1, n_{m + 1}} \circ m \circ ({h_{n_1, n_2}}^{- 1}, ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1})\) is continuous, by the proposition that any topological spaces map is continuous at any point if the spaces are the subspaces of some \(C^\infty\) manifolds and there are some charts of the manifolds around the point and the point image and a map between the chart open subsets which (the map) is restricted to the original map whose (the chart open subsets map's) coordinates function's restriction is continuous.
Step 3:
\((h_{n_1, n_2}, ..., h_{n_m, n_{m + 1}})\) is continuous, by the proposition that the product map of any finite number of continuous maps is continuous by the product topologies.
\({h_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1}\) is continuous, because \(h_{n_1, n_{m + 1}}\) is a homeomorphism.
So, \(m = {h_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} \circ h_{n_1, n_{m + 1}} \circ m \circ ({h_{n_1, n_2}}^{- 1}, ..., {h_{n_m, n_{m + 1}}}^{- 1}) \circ (h_{n_1, n_2}, ..., h_{n_m, n_{m + 1}})\) is continuous, by the proposition that for any maps between any arbitrary subspaces of any topological spaces continuous at any corresponding points, the composition is continuous at the point.
