\(n \times n\)インバーティブル（可逆）リアル（実）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）の定義
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(m \times n\)リアル（実）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(n \times n\)リング（環）マトリックス（行列）たちのリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(n \times n\)インバーティブル（可逆）リアル（実）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( M_n (\mathbb{R})\): \(= \text{ 当該マトリックス（行列）たちリング（環） } \land = \text{ 当該マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間） }\)
\(*M_n (\mathbb{R})^{\times}\): \(= \{M \in M_n (\mathbb{R}) \vert \exists M^{- 1} \in M_n (\mathbb{R})\}\)、\(M_n (\mathbb{R})\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）として、\(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
//
コンディションたち:
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2: 注
\(M_n (\mathbb{R})^{\times}\)は本当にあるトポロジカルグループ（群）であることを見よう。
\(M_n (\mathbb{R})^{\times}\)はあるグループ（群）である、任意のリング（環）に対して、全てのマルチプリカティブ（乗法）インバーティブル（可逆）要素たちサブセット（部分集合）はあるマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）を形成するという命題によって。
\(M_n (\mathbb{R})\)はハウスドルフである、なぜなら、それは\(\mathbb{R}^{n^2}\)へホメオモーフィック（位相同形写像）である、それはハウスドルフである。
\(M_n (\mathbb{R})^{\times}\)はハウスドルフである、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題によって。
マルチプリケーション（乗法）\(m: M_n (\mathbb{R})^{\times} \times M_n (\mathbb{R})^{\times} \to M_n (\mathbb{R})^{\times}\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、それは\(M_n (\mathbb{R})\)上のマルチプリケーション（乗法）のあるリストリクション（制限）であり、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題が適用される: \(M_n (\mathbb{R})^{\times} \times M_n (\mathbb{R})^{\times}\)は\(M_n (\mathbb{R}) \times M_n (\mathbb{R})\)のあるトポロジカルサブスペース（部分空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
インバージョン（逆）\(i: M_n (\mathbb{R})^{\times} \to M_n (\mathbb{R})^{\times}\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f: M_n (\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^{n^2}\)、それによって、\(M_n (\mathbb{R})\)のトポロジーが定義されている、がある。
ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）リストリクション（制限）\(f^`: M_n (\mathbb{R})^{\times} \to f (M_n (\mathbb{R})^{\times})\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(i = {f^`}^{- 1} \circ f^` \circ i \circ {f^`}^{- 1} \circ f^`\)。
\(f^` \circ i \circ {f^`}^{- 1}: f (M_n (\mathbb{R})^{\times}) \to f (M_n (\mathbb{R})^{\times})\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(f (M_n (\mathbb{R})^{\times}) \subseteq \mathbb{R}^{n^2}\)は\(C^{\infty}\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{R}^{n^2}\)のあるトポロジカルサブスペース（部分空間）であり、\(\mathbb{R}^{n^2}\)に対するスタンダード（標準）チャートによって、各\(v \in f (M_n (\mathbb{R})^{\times})\)の各コンポーネントは\({f^`}^{- 1} (v)\)のあるコンポーネントになり、\(i ({f^`}^{- 1} (v))\)の各コンポーネントは、\({f^`}^{- 1} (v)\)のコンポーネントたちのあるポリノミアル（多項式）を\({f^`}^{- 1} (v)\)のデターミナント（行列式）、それは\({f^`}^{- 1} (v)\)のコンポーネントたちのあるポリノミアル（多項式）である、で割ったものである、それは\(v\)のコンポーネントたちのあるポリノミアル（多項式）を\(v\)のコンポーネントたちのあるポリノミアル（多項式）で割ったものである、そして、それら、\(i ({f^`}^{- 1} (v))\)のコンポーネントたちは\(f^` \circ i \circ {f^`}^{- 1} (v)\)のコンポーネントたちになる、したがって、\(f^` \circ i \circ {f^`}^{- 1}\)のコンポーネントたちファンクション（関数）のコンポーネントたちは何らかのポリノミアル（多項式）たちをあるポリノミアル（多項式）で割ったものである、それらはコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(f^` \circ i \circ {f^`}^{- 1}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間マップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該スペース（空間）たちは何らかの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのサブスペース（部分空間）たちであり、当該ポイントおよび当該ポイントイメージ（像）の周りに当該マニフォールド（多様体）たちのチャートたちがあり、当該チャートオープンサブセット（部分集合）たち間マップ（写像）で元のマップ（写像）へリストリクテッド（制限される）なもので、そのコーディネート（ 座標）たちファンクション（関数）のリストリクション（制限）がコンティニュアス（連続）であるものがある場合という命題によって。
\(f^`\)および\({f^`}^{- 1}\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(f^`\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
したがって、\(i = {f^`}^{- 1} \circ f^` \circ i \circ {f^`}^{- 1} \circ f^`\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
したがって、\(M_n (\mathbb{R})^{\times}\)はあるトポロジカルグループ（群）である。
