\(n \times n\)ユニタリマトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）の定義
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(n \times n\)ユニタリマトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( M_n (\mathbb{C})^{\times}\): \(= \text{ } n \times n \text{ インバーティブル（可逆）コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群） }\)
\(*U (n)\): \(\subseteq M_n (\mathbb{C})^{\times}\)、サブグループ（部分群）およびトポロジカルサブスペース（部分空間）として
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(U (n)\)は本当にあるトポロジカルグループ（群）である、任意のトポロジカルグループ（群）に対して、任意のサブグループ（部分群）でトポロジカルサブスペース（部分空間）としたものはあるトポロジカルグループ（群）であるという命題によって。
\(U (n)\)は\(M_n (\mathbb{C})\)のあるクローズドサブスペース（閉部分空間）であることを見よう。
\(c\)を、\(M_n (\mathbb{C})\)上のエルミートコンジュゲーション（共役）としよう、それはコンティニュアス（連続）である、\(m \times n\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義に対する"注"によって。
\(h: M_n (\mathbb{C}) \to M_n (\mathbb{C}), M \mapsto M^* M\)を取ろう。
\(h = m \circ \phi\)、ここで、\(\phi: M_n (\mathbb{C}) \to M_n (\mathbb{C}) \times M_n (\mathbb{C}), M \mapsto (c (M), id (M))\)。
\(\phi\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(c\)および\(id\)はコンティニュアス（連続）である、そして、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、各コンポーネントマップ（写像）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題が適用される。
\(m\)はコンティニュアス（連続）である、\(m \times n\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義に対する"注"によって。
\(h\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
\(U (n) = h^{- 1} (\{I\})\)、しかし、\(\{I\} \subseteq M_n (\mathbb{C})\)はあるクローズドサブセット（閉部分集合）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって: \(M_n (\mathbb{C})\)はハウスドルフである、なぜなら、それは\(\mathbb{R}^{2 n^2}\)、それはハウスドルフである、へホメオモーフィック（位相同形写像）である。
\(U (n)\)はコンパクトである、なぜなら、カノニカル（正典）ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(h: M_n (\mathbb{C}) \to \mathbb{R}^{2 n^2}\)があるところ、\(h (U (n))\)はバウンデッド（有界）である、任意のユニタリマトリックス（行列）の各コンポーネントは絶対値\(1\)以下を持つという命題によって、そして、\(h (U (n))\)は\(\mathbb{R}^{2 n^2}\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\(U (n)\)は\(M_n (\mathbb{C})\)上でクローズド（閉）である、したがって、\(h (U (n))\)はコンパクトである、任意のユークリディアンメトリック（計量付き）トポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）はコンパクトである、もしも、当該サブセット（部分集合）はクローズド（閉）でバウンデッド（有界）である場合、そしてその場合に限って、（ハイネ-ボレル定理）、という命題によって、したがって、\(h^{- 1} (h (U (n)))\)はコンパクトである。
