モジュール（加群）たちでファイナイト（有限）ベーシス（基底）たちを持つものたち間リニアマップ（線形写像）に対して、マップ（写像）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）たちのベーシス（基底）たちの変更たちに関するトランジション（遷移）はこれであることの記述/証明
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のベーシス（基底）の定義を知っている。
- 読者は、リニアマップ（線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）たちで任意のファイナイト（有限）ベーシス（基底）たちを持つ任意のものたち間任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）たちのベーシス（基底）たちの変更たちでベーシス（基底）たちカーディナリティ（濃度）が保存されるものたちに関するトランジション（遷移）はこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\(n_1\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(n_2\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(B_1\): \(\in \{M_1 \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b_1}^j \vert j \in \{1, ..., n_1\}\}\)
\(B_2\): \(\in \{M_2 \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b_2}^j \vert j \in \{1, ..., n_2\}\}\)
\(B'_1\): \(\in \{M_1 \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b'_1}^l = {N_1}^l_j {b_1}^j \vert l \in \{1, ..., n_1\}\}\)
\(B'_2\): \(\in \{M_2 \text{ の全てのベーシス（基底）たち }\} = \{{b'_2}^l = {N_2}^l_j {b_2}^j \vert l \in \{1, ..., n_2\}\}\)
\(f\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全てのリニアマップ（線形写像）たち }\}\)
\(O\): \(= f \text{ の } B_1 \text{ および } B_2 \text{ に関するマトリックス（行列） }\)、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題内で定義された
\(O'\): \(= f \text{ の } B'_1 \text{ および } B'_2 \text{ に関するマトリックス（行列） }、任意の同一リング（環）上方の、モジュール（加群）で任意の\(d_1\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものからモジュール（加群）で任意の\(d_2\)個要素たちベーシス（基底）を持つ任意のものの中への任意のマップ（写像）に対して 、当該マップ（写像）はリニア（線形）である、もしも、当該マップ（写像）は当該\(d_1 \times d_2\)リング（環）マトリックス（行列）によって代表される場合、そしてその場合に限って、という命題内で定義された
//
ステートメント（言明）たち:
\(O' = N_1 O {N_2}^{- 1}\)
//
2: 注
これは、任意のベクトルたちスペース（空間）たち\(M_1\)および\(M_2\)に対してだけでなく、任意のモジュール（加群）たち\(M_1\)および\(M_2\)に対しても成立する、そうしたベーシス（基底）たちが存在する限りは。
これは、モジュール（加群）で任意の同一ファイナイト（有限）カーディナリティ（濃度）の任意の\(2\)個のベーシス（基底）たちを持つ任意のものおよび任意のモジュール（加群）エンドモーフィズム（自己準同形写像）に対して、当該ベーシス（基底）たちの変更に関する当該エンドモーフィズム（自己準同形写像）マトリックス（行列）たちのトランジション（遷移）はこれであるという命題のある一般化である。
私たちは、\(B_1\)と\(B'_1\)が同一カーディナリティ（濃度）を持ち\(B_2\)と\(B'_2\)が同一カーディナリティ（濃度）を持つケースのみを取り扱う、それは、少なくとも\(R\)があるディビジョン（除算持ち）リング（環）である時は常にそうである、任意のディビジョン（除算持ち）リング（環）上方任意のモジュール（加群）で任意のファイナイト（有限）ベーシス（基底）を持つものに対して、より大きいカーディナリティ（濃度）を持つベーシス（基底）はないという命題によって。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: see that \(N_1\) and \(N_2\) are uniquely determined; Step 2: take \(N'_1 \in M_{n_1} (R)\) such that \({b_1}^j = {N'_1}^j_l {b'_1}^l\), and see that \(N'_1 = {N_1}^{- 1}\); Step 3: see that \(f ({b'_1}^l) = {N_1}^l_j O^j_m {N'_2}^m_p {b'_2}^p\).
Step 1:
\(N_1\) is uniquely determined, by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique.
\(N_2\) is uniquely determined, likewise.
Step 2:
There is the unique \(N'_2 \in M_{n_2} (R)\) such that \(b_2^j = {N'_2}^j_l {b'_2}^l\), by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique.
For each \(l \in \{1, ..., n_2\}\), \({b'_2}^l = {N_2}^l_j b_2^j = {N_2}^l_j {N'_2}^j_m {b'_2}^m\), which implies that \({N_2}^l_j {N'_2}^j_l = 1\) and \({N_2}^l_j {N'_2}^j_m = 0\) for each \(m \neq l\), by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique, which implies that \(N_2 N'_2 = I\).
For each \(j \in \{1, ..., n_2\}\), \(b_2^j = {N'_2}^j_l {b'_2}^l = {N'_2}^j_l {N_2}^l_m b_2^m\), which implies that \({N'_2}^j_l {N_2}^l_j = 1\) and \({N'_2}^j_l {N_2}^l_m = 0\) for each \(m \neq j\), by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique, which implies that \(N'_2 N_2 = I\).
So, \(N'_2\) is an inverse of \(N_2\) and is the inverse, \({N_2}^{- 1}\), by the proposition that if any square ring matrix has an inverse, the inverse is the unique inverse.
Step 3:
For each \(l \in \{1, ..., n_1\}\), \(f ({b'_1}^l) = f ({N_1}^l_j b_1^j) = {N_1}^l_j f (b_1^j)\), because \(f\) is linear, \(= {N_1}^l_j O^j_m b_2^m = {N_1}^l_j O^j_m {N'_2}^m_p {b'_2}^p = O'^l_p {b'_2}^p\), which implies that \({N_1}^l_j O^j_m {N'_2}^m_p = O'^l_p\), by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique, which implies that \(N_1 O N'_2 = O'\).
So, \(O' = N_1 O {N_2}^{- 1}\).
