ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）インナープロダクト（内積）を持つものおよび\(2\)個の同一カーディナリティ（濃度）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちに対して、オーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）でサブセット（部分集合）たちの内の一方を他方にマップしそのカノニカル（正典）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）であるものがある、そして、カーディナリティ（濃度）がディメンション（次元）より小さい時、デターミナント（行列式）は絶対値\(1\)の任意のものにできることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）たち間オーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）の定義を知っている。
- 読者は、フィールド（体）のコピーたちのファイナイト（有限）プロダクトベクトルたちスペース（空間）たち間のリニアマップ（線形写像）のカノニカルレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）を持つもののカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）のグラム-シュミットオーソノーマライゼーション（正規直交化）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）を持つものに対して、任意のオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）はリニアにインディペンデント（線形独立）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のリニア（線形）にインディペンデント（独立）サブセット（部分集合）は、拡張してベーシス（基底）にできる、ファイナイト（有限）数要素たちを加えることによって、という命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のユークリディアンノルム付きユークリディアンベクトルたちスペース（空間）からそれ自体の中への任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）はオーソゴーナル（直交）である、もしも、カノニカル（正典）代表マトリックス（行列）がオーソゴーナル（直交）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、モジュール（加群）たちで任意のファイナイト（有限）ベーシス（基底）たちを持つ任意のものたち間任意のリニアマップ（線形写像）に対して、当該マップ（写像）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）たちのベーシス（基底）たちの変更たちでベーシス（基底）たちカーディナリティ（濃度）が保存されるものたちに関するトランジション（遷移）はこれであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つものおよび任意の\(2\)個の同一カーディナリティ（濃度）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちに対して、あるオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）で当該サブセット（部分集合）たちの内の任意の一方を他方にマップしそのカノニカル（正典）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はオーソゴーナル（直交）であるものがある、そして、当該カーディナリティ（濃度）が当該ディメンション（次元）より小さい時、当該デターミナント（行列式）は絶対値\(1\)の任意のものにできるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもの }\)
\(S\): \(= \{b^1, ..., b^k\} \in \{\mathbb{R}^d \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たち }\}\)
\(S'\): \(= \{b'^1, ..., b'^k\} \in \{\mathbb{R}^d \text{ の全てのオーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, \in \{\text{ 全てのオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）たち }\} (\forall j \in \{1, ..., k\} (f (b^j) = b'^j) \land M, f \text{ の } \mathbb{R}^d \text{ のカノニカル（正典）ベーシス（基底）に関するレプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列） }, \in \{\text{ 全てのオーソゴーナルマトリックス（直交行列）たち }\})\)
\(\land\)
(
\(k \lt d\)
\(\implies\)
\(\forall r \in \mathbb{R} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \vert r \vert = 1 (f \text{ は以下を満たすように選べる、つまり、 } det M = r)\)
)
//
2: 注
任意のコンプレックス（複素）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でコンプレックス（複素）ユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つものおよび任意の\(2\)個の同一カーディナリティ（濃度）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）たちに対して、あるオーソゴーナルリニアマップ（直交線形写像）で当該サブセット（部分集合）たちの内の任意の一方を他方にマップしそのカノニカル（正典）レプリゼンタティブ（代表）マトリックス（行列）はユニタリであるものがある、そして、当該カーディナリティ（濃度）が当該ディメンション（次元）より小さい時、当該デターミナント（行列式）は絶対値\(1\)の任意のものにできるという命題も成立する。
なぜ"\(k \lt d\)"が要求されているかという理由は、それは\(f\)を調整する自由度を与えるということ: \(k = d\)である時は、\(f\)はユニークに決定される。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: take any orthonormal bases, \(B = (b^1, ..., b^k, b^{k + 1}, ..., b^d)\) and \(B' = (b'^1, ..., b'^k, b'^{k + 1}, ..., b'^d)\), and define the linear map, \(f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, v = v_j b^j \mapsto v_j b'^j\); Step 2: see that \(f\) is orthogonal and that the canonical representative matrix is orthogonal; Step 3: suppose that \(k \lt d\); Step 4: see that \(det M = - 1 \text{ or } 1\) and take \(\widetilde{B'} = (b'^1, ..., b'^k, b'^{k + 1}, ..., r (det M)^{- 1} b'^d)\) and \(\widetilde{f}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, v = v_j b^j \mapsto v_j \widetilde{b'}^j\) with the canonical representative matrix, \(\widetilde{M}\), and see that \(det \widetilde{M} = r\).
Step 1:
Let us take any orthonormal basis, \(B = (b^1, ..., b^k, b^{k + 1}, ..., b^d)\) of \(\mathbb{R}^d\), which is possible, by the proposition that for any vectors space with any inner product, any orthonormal subset is linearly independent, the proposition that for any finite-dimensional vectors space, any linearly independent subset can be expanded to be a basis by adding a finite number of elements, and the definition of Gram-Schmidt orthonormalization of countable subset of vectors space with inner product.
Let us take any orthonormal basis, \(B' = (b'^1, ..., b'^k, b'^{k + 1}, ..., b'^d)\) for \(\mathbb{R}^d\), which is possible, likewise.
Let us define the map, \(f: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, v = v_j b^j \mapsto v_j b'^j\), which is linear (in fact, a 'vectors spaces - linear morphisms' isomorphism), by the proposition that between any vectors spaces, any map that maps any basis onto any basis bijectively and expands the mapping linearly is a 'vectors spaces - linear morphisms' isomorphism: \(f\) maps \(b^j\) to \(b'^j\) and is expanding the mapping between the bases linearly.
Step 2:
\(f\) is orthogonal, because for each \(v = v_j b^j \in \mathbb{R}^d\), \(\Vert f (v) \Vert = \Vert f (v_j b^j) \Vert = \Vert v_j b'^j \Vert = \sqrt{\langle v_j b'^j, v_l b'^l \rangle} = \sqrt{v_j v_l \langle b'^j, b'^l \rangle} = \sqrt{v_j v_l \delta^{j, l}} = \sqrt{v_j v_l \langle b^j, b^l \rangle} = \sqrt{\langle v_j b^j, v_l b^l \rangle} = \Vert v_j b^j \Vert = \Vert v \Vert\).
So, its canonical representative matrix, \(M\), is orthogonal, by the proposition that for any linear map from any Euclidean-normed Euclidean vectors space into itself, the map is orthogonal if and only if the canonical representative matrix is orthogonal.
Step 3:
Let us suppose that \(k \lt d\).
Step 4:
\(det M = - 1 \text{ or } 1\), by Note for the proposition that for any square complex matrix, the determinant of the Hermitian conjugate of the matrix is the complex conjugate of the determinant of the matrix: any orthogonal matrix is unitary and its determinant is real.
Let \(r \in \mathbb{R}\) be any such that \(\vert r \vert = 1\).
Let us take \(\widetilde{B'} = (\widetilde{b'}^1 = b'^1, ..., \widetilde{b'}^k = b'^k, \widetilde{b'}^{k + 1} = b'^{k + 1}, ..., \widetilde{b'}^d = r (det M)^{- 1} b'^d)\) instead of \(B'\).
\(\widetilde{B'}\) is orthonormal, because for each \(j \lt d\), \(\langle b'^j, r (det M)^{- 1} b'^d \rangle = r (det M)^{- 1} \langle b'^j, b'^d \rangle = r (det M)^{- 1} 0 = 0\) and \(\langle r (det M)^{- 1} b'^d, r (det M)^{- 1} b'^d \rangle = r (det M)^{- 1} r (det M)^{- 1} \langle b'^d, b'^d \rangle = r^2 {(det M)^{- 1}}^2 \langle b'^d, b'^d \rangle = 1 1 1 = 1\).
Let us define \(\widetilde{f}: \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^d, v = v_j b^j \mapsto v_j \widetilde{b'}^j\).
By Step 2, \(\widetilde{f}\) is represented by an orthogonal \(\widetilde{M}\).
By the proposition that for any linear map between any modules with any finite bases, the transition of the map representative matrices with respect to changes of bases with the bases-cardinalities conserved is this, \(M = N I N'^{- 1}\) and \(\widetilde{M} = N I \widetilde{N'}^{- 1}\), where \(e^j = N'^j_l b'^l\) and \(e^j = \widetilde{N'}^j_l \widetilde{b'}^l\), where \(\{e^1, ..., e^d\}\) is the canonical basis: the representative matrix of \(f\) with respect to \(B\) and \(B'\) is \(I\) and the representative matrix of \(\widetilde{f}\) with respect to \(B\) and \(\widetilde{B'}\) is \(I\).
In fact, for each \(l \in \{1, ..., d - 1\}\), \(\widetilde{N'}^j_l = N'^j_l\) and \(\widetilde{N'}^j_d = N'^j_d det M r^{- 1}\), because \(\widetilde{N'}^j_l \widetilde{b'}^l = \sum_{l \in \{1 ..., d - 1\}} \widetilde{N'}^j_l \widetilde{b'}^l + \widetilde{N'}^j_d \widetilde{b'}^d = \sum_{l \in \{1 ..., d - 1\}} \widetilde{N'}^j_l b'^l + \widetilde{N'}^j_d r (det M)^{- 1} b'^d = e^j = N'^j_l b'^l = \sum_{l \in \{1 ..., d - 1\}} N'^j_l b'^l + N'^j_d b'^d\), which implies that \(\widetilde{N'}^j_l = N'^j_l\) for each \(l \in \{1, ..., d - 1\}\) and \(\widetilde{N'}^j_d r (det M)^{- 1} = N'^j_d\), by the proposition that for any module with any basis, the components set of any element with respect to the basis is unique.
\(det \widetilde{N'} = det N' det M r^{- 1}\), as is well known.
As \(1 = det I = det (N'^{- 1} N') = det N'^{- 1} det N'\), \(det N'^{- 1} = (det N')^{- 1}\); \(det \widetilde{N'}^{- 1} = (det \widetilde{N'})^{- 1}\), likewise.
So, \(det \widetilde{N'}^{- 1} = (det \widetilde{N'})^{- 1} = (det N' det M r^{- 1})^{- 1} = r (det M)^{- 1} det N'^{- 1}\).
So, \(det \widetilde{M} = det (N I \widetilde{N'}^{- 1}) = det N det I det \widetilde{N'}^{- 1} = det N det I r (det M)^{- 1} det N'^{- 1} = det N det I det N'^{- 1} r (det M)^{- 1} = det (N I N'^{- 1}) (det M)^{- 1} r = det M (det M)^{- 1} r = r\).
So, we can take \(\widetilde{B'}\), then, \(\widetilde{f}\) is an orthogonal linear map that maps \(S\) to \(S'\) whose representative matrix is orthogonal with determinant \(r\).
