\(n \times n\)インバーティブル（可逆）クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）右アクションの定義
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(n \times n\)インバーティブル（可逆）クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
- 読者は、クォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルグループ（群）右アクションの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(n \times n\)インバーティブル（可逆）クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）右アクションの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M_n (\mathbb{H})^{\times}\): \(= \text{ \(n \times n\)インバーティブル（可逆）クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群） }\)
\( \mathbb{Q}^n\): \(= \text{ 当該クォータニオン（4元数）ユークリディアントポロジカルスペース（空間） }\)
\(*f\): \(: \mathbb{H}^n \times M_n (\mathbb{H})^{\times} \to \mathbb{H}^n, (t, M) \mapsto t M\), \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）右アクションたち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(f\)は本当にあるトポロジカルグループ（群）右アクションであることを見よう。
注意として、\(\mathbb{H}^n\)は、\(M_{1 \times n} (\mathbb{H})\)であるとみなされている。
\(\forall M_1, M_2 \in M_n (\mathbb{H})^{\times}, \forall t \in \mathbb{H}^n (f (f (t, M_1), M_2) = f (t, M_1 M_2))\): \(f (f (t, M_1), M_2) = (t M_1) M_2 = t (M_1 M_2)\)、任意のリング（環）に対して、当該リング（環）上方の任意のマトリックス（行列）たちのマルチプリケーション（乗法）たちはアソシアティブ（結合的）であるという命題によって、\(= f (t, M_1 M_2)\)。
\(\forall t \in \mathbb{H}^n (f (t, 1) = t)\): \(1 = I\)、そして、\(f (t, 1) = t I = t\)。
したがって、\(f\)はあるトポロジカルグループ（群）右アクションである。
\(f\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(f\)は\(f': \mathbb{H}^n \times M_n (\mathbb{H}) \to \mathbb{H}^n, (t, M) \mapsto t M\)のリストリクション（制限）である、それは、コンティニュアス（連続）である、クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）たちの任意のマルチプリケーション（乗法）可能ファイナイト（有限）-プロダクト上のマルチプリケーション（乗法）はコンティニュアス（連続）であるという命題によって、そして、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題が適用される: \(\mathbb{H}^n \times M_n (\mathbb{H})^{\times}\)は\(\mathbb{H}^n \times M_n (\mathbb{H})\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
したがって、\(f\)はあるトポロジカルグループ（群）右アクションである。
\(f\)はトランジティブ（推移的）ではない、なぜなら、\(M_n (\mathbb{H})^{\times} (0) = {0} \subset \mathbb{H}^n\)、例えば。
\(f\)はフリーではない、なぜなら、\(M_n (\mathbb{H})^{\times}_0 = M_n (\mathbb{H})^{\times} \subset \{1\}\)、例えば。
\(\mathbb{H}^n\)を当該クォータニオン（4元数）ユークリディアンモジュール（加群）とみなして、\(f\)から当該グループ（群）要素を固定してインデュースト（誘導された）マップ（写像）\(f^`_M: \mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n, t \mapsto t M\)は、\(\mathbb{H}\)リニア（線形）である（'グループ（群）アクション'はそのようなリニア（線形）性を要求しない、しかし、本ケースは、このリニア（線形）性を持つ）、なぜなら、各\(r_1, r_2 \in \mathbb{H}\)および各\(t_1, t_2 \in \mathbb{H}^n\)に対して、\(f^`_M (r_1 t_1 + r_2 t_2) = (r_1 t_1 + r_2 t_2) M = r_1 t_1 M + r_2 t_2 M = r_1 f^` (t_1) + r_2 f^` (t_2)\)。
"\(n \times n\)インバーティブル（可逆）クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）左アクション"を定義しない（少なくとも、今は）、なぜなら、それは、the group left action that corresponds to \(n \times n\)インバーティブル（可逆）クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）右アクションに対応するグループ（群）左アクション\(: M_n (\mathbb{H})^{\times} \times \mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n, (M, t) \mapsto t M^{- 1}\)でもあり得るし、\(: M_n (\mathbb{H})^{\times} \times \mathbb{H}^n \to \mathbb{H}^n, (M, t) \mapsto M t\)でもあり得る、それらは異なるものたちである、しかし、前者が、構造的により良く思われる、なぜなら、\((r_1 t_1 + r_2 t_2) M^{- 1} = r_1 (t_1 M^{- 1}) + r_2 (t_2 M^{- 1})\)は成立する一方、"\(M (r_1 t_1 + r_2 t_2) = r_1 (M t_1) + r_2 (M t_2)\)"は成立しない、一般に。
