クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）たちのファイナイト（有限）-プロダクト上のマルチプリケーション（乗法）はコンティニュアス（連続）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(m \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンティヌアス（連続）な、トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）たちの任意のマルチプリケーション（乗法）可能ファイナイト（有限）-プロダクト上のマルチプリケーション（乗法）はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）たちの任意のマルチプリケーション（乗法）可能ファイナイト（有限）-プロダクト上のマルチプリケーション（乗法）はコンティニュアス（連続）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_{n_1 \times n_2} (\mathbb{H})\): \(= \text{ 当該クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間） }\)
\(M_{n_2 \times n_3} (\mathbb{H})\): \(= \text{ 当該クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間） }\)
\(...\):
\(M_{n_m \times n_{m + 1}} (\mathbb{H})\): \(= \text{ 当該クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間） }\)
\(m\): \(: M_{n_1 \times n_2} (\mathbb{H}) \times ... \times M_{n_m \times n_{m + 1}} (\mathbb{H}) \to M_{n_1 \times n_{m + 1}} (\mathbb{H})\), \(= \text{ 当該マルチプリケーション（乗法） }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(m \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\)
//
2: Proof
Whole Strategy: Step 1: take the homeomorphisms, \({f'^`}_{n_j, n_l}: M_{n_j, n_l} (\mathbb{H}) \to f' (M_{n_j, n_l} (\mathbb{H})) \subseteq M_{2 n_j, 2 n_l} (\mathbb{C})\), and see that \(m = {{f'^`}_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} \circ m' \circ ({f'^`}_{n_1, n_2}, ..., {f'^`}_{n_m, n_{m + 1}})\) where \(m'\) is the restriction of the multiplication on \(M_{2 n_1, 2 n_2} (\mathbb{C}) \times ... \times M_{2 n_m, 2 n_{m + 1}} (\mathbb{C})\); Step 2: see that \(m'\) is continuous; Step 3: conclude the proposition.
Step 1:
Let us take the homeomorphisms, for each \(n_j, n_l \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\), \({f'^`}_{n_j, n_l}: M_{n_j, n_l} (\mathbb{H}) \to f'_{n_j, n_l} (M_{n_j, n_l} (\mathbb{H})) \subseteq M_{2 n_j, 2 n_l} (\mathbb{C})\), by which the topology of \(M_{n_j, n_l} (\mathbb{H})\) is defined.
Let us see that for each \((M_1, ..., M_m) \in M_{n_1 \times n_2} (\mathbb{H}) \times ... \times M_{n_m \times n_{m + 1}} (\mathbb{H})\), \(f'_{n_1, n_{m + 1}} (M_1 ... M_m) = f'_{n_1, n_2} (M_1) ... f'_{n_m, n_{m + 1}} (M_m)\) (which is really parallel to Step 2 of Proof of the proposition that the ring of the \(n \times n\) quaternion matrices is 'rings - homomorphisms' isomorphic to a subring of the \(2 n \times 2 n\) complex matrices, via the between-the-quaternions-division-associative-algebra-and-a-subring-of-\(2 \times 2\)-complex-matrices 'rings - homomorphisms' isomorphism).
Let us see that for the case, \(m = 2\), which is about \(f'_{n_1, n_3} (M_1 M_2) = f'_{n_1, n_2} (M_1) f'_{n_2, n_3} (M_2)\).
As for \(f'_{n_1, n_3} (M_1 M_2)\), for each \((M_1 M_2)^j_l\), \(f ((M_1 M_2)^j_l) = f ({M_1}^j_p {M_2}^p_l) = \sum_{p \in \{1, ..., n_2\}} f ({M_1}^j_p {M_2}^p_l) = \sum_{p \in \{1, ..., n_2\}} f ({M_1}^j_p) f ({M_2}^p_l)\), because \(f\) is a ring homomorphism, which is the \((j, l)\) \(2 \times 2\) block of \(f'_{n_1, n_3} (M_1 M_2)\), but the corresponding \(2 \times 2\) block of \(f'_{n_1, n_2} (M_1) f'_{n_2, n_3} (M_2)\) is \(\sum_{p \in \{1, ..., n_2\}} f ({M_1}^j_p) f ({M_2}^p_l)\), by the the proposition that the multiplication of any matrix made of any same size blocks by any matrix made of blocks of any multiplicable (with blocks of the former matrix) same size is blocks-wise, so, \(f'_{n_1, n_3} (M_1 M_2) = f'_{n_1, n_2} (M_1) f'_{n_2, n_3} (M_2)\).
Supposing that \(f'_{n_1, n_q} (M_1 ... M_{q - 1}) = f'_{n_1, n_2} (M_1) ... f'_{n_{q - 1}, n_q} (M_{q - 1})\) holds for any \(q \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\), \(f'_{n_1, n_{q + 1}} (M_1 ... M_q) = f'_{n_1, n_{q + 1}} ((M_1 ... M_{q - 1}) M_q) = f'_{n_1, n_q} (M_1 ... M_{q - 1}) f'_{n_q, n_{q + 1}} (M_q)\), by the \(m = 2\) case (\(M_1 ... M_{q - 1} \in M_{n_1 \times n_q} (\mathbb{H})\) and \((n_1, n_q, n_{q + 1})\) is taken as \((n_1, n_2, n_3)\)), \(= f'_{n_1, n_2} (M_1) ... f'_{n_{q - 1}, n_q} (M_{q - 1}) f'_{n_q, n_{q + 1}} (M_q)\).
So, by the induction principle, \(f'_{n_1, n_{m + 1}} (M_1 ... M_m) = f'_{n_1, n_2} (M_1) ... f'_{n_m, n_{m + 1}} (M_m)\) for each \(m \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\).
Now, \(m = {{f'^`}_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} \circ m' \circ ({f'^`}_{n_1, n_2}, ..., {f'^`}_{n_m, n_{m + 1}})\) where \(m': f'_{n_1, n_2} (M_{n_1, n_2} (\mathbb{H})) \times ... \times f'_{n_m, n_{m + 1}} (M_{n_m, n_{m + 1}} (\mathbb{H})) \to f'_{n_1, n_{m + 1}} (M_{n_1, n_{m + 1}} (\mathbb{H}))\) is the restriction of the multiplication on \(M_{2 n_1, 2 n_2} (\mathbb{C}) \times ... \times M_{2 n_m, 2 n_{m + 1}} (\mathbb{C})\), because \({{f'^`}_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} \circ m' \circ ({f'^`}_{n_1, n_2}, ..., {f'^`}_{n_m, n_{m + 1}}) (M_1, ..., M_m) = {{f'^`}_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} \circ m' ({f'^`}_{n_1, n_2} (M_1), ..., {f'^`}_{n_m, n_{m + 1}} (M_m)) = {{f'^`}_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} ({f'^`}_{n_1, n_2} (M_1) ... {f'^`}_{n_m, n_{m + 1}} (M_m)) = {{f'^`}_{n_1, n_{m + 1}}}^{- 1} (f'^`_{n_1, n_{m + 1}} (M_1 ... M_m))\), which has been seen above, \(= M_1 ... M_m = m (M_1, ..., M_m)\).
Step 2:
\(m'\) is continuous, because the multiplication on \(M_{2 n_1, 2 n_2} (\mathbb{C}) \times ... \times M_{2 n_m, 2 n_{m + 1}} (\mathbb{C})\) is continuous, by the proposition that the multiplication on any multiplication-possible finite-product of complex matrices topological spaces is continuous, and the proposition that any restriction of any continuous map on the domain and the codomain is continuous applies.
Step 3:
\(({f'^`}_{n_1, n_2}, ..., {f'^`}_{n_m, n_{m + 1}})\) is continuous, by the proposition that the product map of any finite number of continuous maps is continuous by the product topologies.
\({f'^`_{n_1, n_m}}^{- 1}\) is continuous, because \(f'^`_{n_1, n_m}\) is a homeomorphism.
So, \(m = {f'^`_{n_1, n_m}}^{- 1} \circ m' \circ ({f'^`}_{n_1, n_2}, ..., {f'^`}_{n_m, n_{m + 1}})\) is continuous, by the proposition that for any maps between any arbitrary subspaces of any topological spaces continuous at any corresponding points, the composition is continuous at the point.
