\(n \times n\)インバーティブル（可逆）クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）の定義
話題
About: グループ（群）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(m \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(n \times n\)リング（環）マトリックス（行列）たちのリング（環）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルグループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(n \times n\)インバーティブル（可逆）クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちトポロジカルグループ（群）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( n\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\( M_n (\mathbb{H})\): \(= \text{ 当該マトリックス（行列）たちリング（環） } \land = \text{ 当該マトリックス（行列）たちトポロジカルスペース（空間） }\)
\(*M_n (\mathbb{H})^{\times}\): \(= \{M \in M_n (\mathbb{H}) \vert \exists M^{- 1} \in M_n (\mathbb{H})\}\)、\(M_n (\mathbb{H})\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）として、\(\in \{\text{ 全てのトポロジカルグループ（群）たち }\}\)
//
コンディションたち:
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2: 注
\(M_n (\mathbb{H})^{\times}\)は本当にあるトポロジカルグループ（群）であることを見よう。
\(M_n (\mathbb{H})^{\times}\)はあるグループ（群）である、任意のリング（環）に対して、全てのマルチプリカティブ（乗法）インバーティブル（可逆）要素たちサブセット（部分集合）はあるマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）を形成するという命題によって。
ホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f'^`: M_n (\mathbb{H}) \to f' (M_n (\mathbb{H})) \subseteq M_{2 n} (\mathbb{C})\)、それによって、\(M_n (\mathbb{H})\)のトポロジーが定義されている、がある。
実のところ、\(f'^`\)は、全ての\(n \times n\)クォータニオン（4元数）マトリックス（行列）たちのリング（環）は\(2 n \times 2 n\)コンプレックス（複素数）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）へ'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、クォータニオン（4元数）たちディビジョン（除算持ち）アソシアティブ（結合的）アルジェブラ（多元環）-\(2 \times 2\)コンプレックス（複素）マトリックス（行列）たちのあるサブリング（部分環）間'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）を介して、という命題内で定義された'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
\({f'^`}^`: M_n (\mathbb{H})^{\times} \to f' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\)は、任意の'リング（環）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）はマルチプリカティブ（乗法）'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）へリストリクテッド（制限）されるという命題内で定義された'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
\({f'^`}^`\)はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(f' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\)はあるトポロジカルグループ（群）である、なぜなら、\(M_{2 n} (\mathbb{C})^{\times}\)はあるトポロジカルグループ（群）であるところ、\(f' (M_n (\mathbb{H}))^{\times}\)は\(M_{2 n} (\mathbb{C})^{\times}\)のあるトポロジカルサブスペース（部分空間）サブグループ（部分群）である、そして、任意のトポロジカルグループ（群）に対して、任意のサブグループ（部分群）でトポロジカルサブスペース（部分空間）としたものはあるトポロジカルグループ（群）であるという命題が適用される。
\(M_n (\mathbb{H})^{\times}\)はあるトポロジカルグループ（群）である、任意のグループ（群）トポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、当該スペース（空間）から任意のトポロジカルグループ（群）の上への任意の'グループ（群）たち - ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）ホメオモーフィズム（位相同形写像）がある場合、当該スペース（空間）はあるトポロジカルグループ（群）であるという命題によって。
