\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の\(C^\infty\)ローカルセクション（断面）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ランク\(k\)の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオープン（開）サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、の定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）のセクション（断面）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）の定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の任意の\(C^\infty\)ローカルセクション（断面）は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(k\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\((E, M, \pi)\): \(\in \{\text{ ランク } k\text{ の全ての } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}\)
\(U\): \(\in \{M \text{ の全てのオープン（開）エンベデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(s\): \(: U \to E\), \(\in \{\pi \text{ の全ての } C^\infty \text{ ローカルセクション（断面）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(s \in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ エンベディング（埋め込み）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(s\)はある\(C^\infty\)インジェクティブ（単射）イマージョンであることを見る; ステップ2: \(s\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）はあるホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(s\)はインジェクション（単射）である、なぜなら、\(u_1 \neq u_2\)を満たす各\(u_1, u_2 \in U\)に対して、\(s (u_1) \neq s (u_2)\)、なぜなら、もしも、\(s (u_1) = s (u_2)\)である場合、\(u_1 = \pi \circ s (u_1) = \pi \circ s (u_2) = u_2\)、\(u_1 \neq u_2\)に反する矛盾。
\(s\)はある\(C^\infty\)イマージョンであることを見よう。
\(s\)は\(C^\infty\)である、仮定によって。
\(u \in U\)を任意のものとしよう。
任意のトリビアライジングチャート\((U_u \subseteq U, \phi_u)\)で、あるトリビアライゼーション\(\Phi: \pi^{-1} (U_u) \to U_u \times \mathbb{R}^k\)を持つものを取ろう、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の各ポイントにおいてより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題によって: \(u\)の以下を満たすあるトリビアライジングオープンネイバーフッド（開近傍）\(U'_u \subseteq M\)、つまり、\(U'_u \subseteq U\)、を取り、以下を満たす\(U_u\)、つまり、\(U_u \subseteq U'_u\)、を取る。
任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって、カノニカル（正典）チャート\((\pi^{-1} (U_u) \subseteq E, \widetilde{\phi_u})\)、ここで、\(\widetilde{\phi_u}: \pi^{-1} (U_u) \to U_u \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^{d + k} \text{ or } \mathbb{H}^{d + k}, v \mapsto (\pi_2 (\Phi (v)), \phi_u (\pi (v)))\)、ここで、\(\pi_2: U_u \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k\)はプロジェクション（射影）、がある。
\(s\)の\(u\)におけるディメンショナル\(d s_u: T_uU \to T_{s (u)}E\)のことを考えよう。
当該チャートたちに関する\(T_uU\)および\(T_{s (u)}E\)に対するスタンダードベーシス（基底）たちでもって、\(d s_u\)のコンポーネントたちファンクション（関数）は\((v^j) \mapsto (\partial_l \hat{s}^j v^l)\)、ここで、\(\hat{s} = \widetilde{\phi_u} \circ s \circ {\phi_u}^{-1}: \phi_u (U_u) \subseteq \mathbb{R}^d \to \widetilde{\phi_u} (\pi^{-1} (U_u)) \subseteq \mathbb{R}^{d + k} \text{ or } \mathbb{H}^{d + k}\)は\(s\)のコンポーネントたちファンクション（関数）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）および任意の対応するチャートたちに対して、当該マップ（写像）のディファレンシャルの、スタンダード（標準）ベーシス（基底）たちに関するコンポーネントたちファンクション（関数）はこれであるという命題によって。
各\(j \in \{k + 1, ..., k + d\}\)によって、\(\hat{s}^j: (x^1, ..., x^d) \mapsto x^{j - k}\)、したがって、\(\partial_l \hat{s}^j = \delta^{j - k}_l\)、したがって、\(\partial_l \hat{s}^j v^l = \delta^{j - k}_l v^l = v^{j - k}\)。
したがって、\(v \neq v'\)を満たす各\(v, v' \in T_uU\)に対して、\(v^l \neq v'^l\)、ある\(l \in \{1, ..., d\}\)に対して、したがって、\(\partial_l \hat{s}^j v^l = v^{j - k} \neq v'^{j - k} = \partial_l \hat{s}^j v'^l\)、\(j = l + k\)に対して。
したがって、\(d s_u (v) \neq d s_u (v')\)。
したがって、\(d s_u\)はインジェクティブ（単射）である、したがって、\(s\)はある\(C^\infty\)イマージョンである。
ステップ2:
\(s\)のコドメイン（余域）リストリクション（制限）\(s': U \to s (U)\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であることを見よう。
\(s\)はコンティニュアス（連続）である、なぜなら、\(s\)は\(C^\infty\)である、そして、\(s'\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(s\)はインジェクティブ（単射）であるから、インバース（逆）\(s'^{-1}: s (U) \to U\)がある。
\(s'^{-1}\)は、\(\pi\)のリストリクション（制限）\(\pi \vert_{s (U)}: s (U) \to U\)に他ならない。
\(\pi\)はコンティニュアス（連続）である、そして、\(\pi \vert_{s (U)}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
したがって、\(s'^{-1}\)はコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(s'\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
ステップ3:
したがって、\(s\)は\(C^\infty\)エンベディング（埋め込み）である。
