ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および第1のオープンサブセット（開部分集合）でそのクローズド（閉包）がコンパクトで第2のオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものに対して、第1のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）を包含するオープンサブセット（開部分集合）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで第2のサブセット（部分集合）内に包含されているものがあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のカウンタブル（可算）にコンパクトなサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意の有限数サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および任意の第1のオープンサブセット（開部分集合）でそのクローズド（閉包）がコンパクトで任意の第2のオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものに対して、第1のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）を包含するあるオープンサブセット（開部分集合）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで第2のサブセット（部分集合）内に包含されているものがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(U_1\): \(\in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
\(U_2\): \(\in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{U_1} \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\} \land \overline{U_1} \subseteq U_2\)
\(\implies\)
\(\exists U_3 \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\overline{U_3} \in \{T \text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\} \land \overline{U_1} \subseteq U_3 \subseteq \overline{U_3} \subseteq U_2)\)
//
2: 注
\(U_1\)と\(U_2\)のペアは、典型的には、以下のように取られる: 任意の\(t \in T\)および\(t\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_2\)に対して、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_1\)、つまり、\(\overline{U_1}\)はコンパクトであり\(\overline{U_1} \subseteq U_2\)、がある、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題によって。
\(U_1\)と\(U_3\)のペアおよび\(U_3\)と\(U_2\)のペアは本命題のコンディションたちを満たすので、本命題を逐次的に、当該ペアたちに、当該ペアたちから派生したペアたちに、等々と、適用できる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(t \in \overline{U_1}\)に対して、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t\)、つまり、\(\overline{U_t}\)はコンパクトで\(\overline{U_t} \subseteq U_2\)、を取る; ステップ2: 以下を満たすあるファイナイト（有限）\(\{U_{t_j}\}\)、つまり、\(\overline{U_1} \subseteq \cup_{j \in J} U_{t_j} := U_3\)、を取り、\(U_3\)は本命題に対するコンディションたちを満たすことを見る。
ステップ1:
\(t \in \overline{U_1}\)を任意のものとしよう。
\(t \in \overline{U_1} \subseteq U_2\)であるから、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(\overline{U_t} \subseteq T\)はコンパクトで\(\overline{U_t} \subseteq U_2\)、がある、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題によって。
ステップ2:
\(\{U_t \vert t \in \overline{U_1}\}\)は\(\overline{U_1}\)のあるオープンカバー（開被覆）である。
\(\overline{U_1}\)はコンパクトであるから、あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{U_{t_j} \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、がある。
\(U_3 := \cup_{j \in J} U_{t_j}\)、\(T\)上でオープン（開）を定義しよう。
\(\overline{U_1} \subseteq U_3\)。
\(\overline{U_3} = \overline{\cup_{j \in J} U_{t_j}} = \cup_{j \in J} \overline{U_{t_j}}\)、任意の有限数サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって。
\(\overline{U_3} = \cup_{j \in J} \overline{U_{t_j}} \subseteq T\)はコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであるという命題によって。
\(\overline{U_3} = \cup_{j \in J} \overline{U_{t_j}} \subseteq U_2\)、なぜなら、\(\overline{U_{t_j}} \subseteq U_2\)、各\(j \in J\)に対して。
したがって、\(U_3\)は、本命題に対するコンディションたちを満たす。
