ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、各ポイントがコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つ場合、そしてその場合に限って、スペース（空間）はローカルにコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）である、もしも、当該スペース（空間）の各ポイントに対して、当該1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であり当該ポイントのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）が当該ポイントにおけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、各ポイントがあるコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つ場合、そしてその場合に限って、当該スペース（空間）はローカルにコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall t \in T (\exists K_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのコンパクトネイバーフッド（近傍）たち }\})\)
\(\iff\)
\(T \in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各ポイントはあるコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つと仮定する; ステップ2: \(t\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_t\)、\(t\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_{t, 1} \subseteq K_t\)および\(U_{t, 2} \subseteq N_t\)を取る; ステップ3: \(\overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)はあるコンパクトハウスドルフスペース（空間）でありレギュラー（正則）であることを見る; ステップ4: \(t\)の\(\overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)上における以下を満たすあるクローズドネイバーフッド（閉近傍）、つまり、\(C_t \subseteq U_{t, 1} \cap U_{t, 2}\)、を取り、\(C_t\)は、\(t\)の\(T\)上における以下を満たすあるコンパクトネイバーフッド（近傍）、つまり、\(C_t \subseteq N_t\)、であることを見る; ステップ5: \(T\)はローカルにコンパクトであると仮定する; ステップ6: 各ポイントはあるコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つことを見る。
ステップ1:
\(\forall t \in T (\exists K_t \subseteq T \in \{t \text{ の全てのコンパクトネイバーフッド（近傍）たち }\})\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, 1} \subseteq T\)、つまり、\(U_{t, 1} \subseteq K_t\)、がある。
\(N_t \subseteq T\)を\(t\)の任意のネイバーフッド（近傍）としよう。
\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, 2} \subseteq T\)、つまり、\(U_{t, 2} \subseteq N_t\)、がある。
\(U_{t, 1} \cap U_{t, 2} \subseteq T\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
ステップ3:
\(K_t\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
\(\overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}} \subseteq K_t\)、なぜなら、\(U_{t, 1} \cap U_{t, 2} \subseteq U_{t, 1} \subseteq K_t\)で、当該クロージャー（閉包）は、\(U_{t, 1} \cap U_{t, 2}\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）である、そして、\(\overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)は\(K_t\)のあるクローズドサブセット（閉部分集合）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって: \(\overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}} = \overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}} \cap K_t\)。
\(K_t\)は\(T\)のあるコンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって、\(\overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)は\(K_t\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって、\(T\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）である、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって、そして、\(T\)のあるコンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
\(\overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}} \subseteq T\)はハウスドルフである、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のサブスペース（部分空間）はハウスドルフであるという命題によって。
\(\overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)はノーマル（正規）でありレギュラー（正則）である、任意のコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題および任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）であるという命題によって。
ステップ4:
\(\overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)上において、\(t\)の全てのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）は\(t\)におけるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である、任意のトポロジカルスペース（空間）はレギュラー（正則）である、もしも、当該スペース（空間）の各ポイントに対して、当該1ポイントサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であり当該ポイントのクローズドネイバーフッド（閉近傍）たちのセット（集合）が当該ポイントにおけるあるネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、したがって、\(t\)の以下を満たすあるクローズドネイバーフッド（閉近傍）\(C_t \subseteq \overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)、つまり、\(C_t \subseteq U_{t, 1} \cap U_{t, 2}\)、がある: \(U_{t, 1} \cap U_{t, 2} \subseteq \overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(C_t\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\(\overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)は\(T\)上でクローズド（閉）であり、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題が適用される。
\(C_t \subseteq U_{t, 1} \cap U_{t, 2} \subseteq U_{t, 1} \subseteq K_t\)、そして、\(C_t\)は\(K_t\)上でクローズド（閉）である、なぜなら、\(C_t = C_t \cap K_t\)、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって、そして、\(K_t\)上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって、そして、\(T\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。
\(C_t\)は\(t\)の\(T\)上におけるあるネイバーフッド（近傍）である、なぜなら、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq \overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)、つまり、\(U_t \subseteq C_t\)、がある、\(U_t = U'_t \cap \overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}}\)、ここで、\(U'_t \subseteq T\)は\(t\)の\(T\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、\(= U'_t \cap \overline{U_{t, 1} \cap U_{t, 2}} \cap U_{t, 1} \cap U_{t, 2}\)、なぜなら、\(U_t \subseteq C_t \subseteq U_{t, 1} \cap U_{t, 2}\)、\(= U'_t \cap U_{t, 1} \cap U_{t, 2}\)、それは、\(t\)の\(T\)上におけるあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、なぜなら、\(U_{t, 1} \cap U_{t, 2}\)は\(T\)上でオープン（開）である。
したがって、\(C_t \subseteq T\)は\(t\)の\(T\)上におけるあるコンパクトネイバーフッド（近傍）である。
\(C_t \subseteq U_{t, 1} \cap U_{t, 2} \subseteq U_{t, 2} \subseteq N_t\)。
したがって、\(T\)はローカルにコンパクトである。
ステップ5:
\(T\)はローカルにコンパクトであると仮定しよう。
ステップ6:
各\(t\)に対して、\(T\)は\(t\)のあるネイバーフッド（近傍）であり、\(t\)のあるコンパクトネイバーフッド（近傍）で\(T\)内に包含されているものがある、したがって、\(t\)はあるコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つ。
