ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および任意の第1のオープンサブセット（開部分集合）でそのクローズド（閉包）がコンパクトで任意の第2のオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものに対して、第1のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）を包含するあるオープンサブセット（開部分集合）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで第2のサブセット（部分集合）内に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(2\)個の異なる非負リアルナンバー（実数）たちおよび\(1\)より大きい任意のナチュラルナンバー（自然数）に対して、何らかの第2および第3ナチュラルナンバー（自然数）たちで第3ナンバー（数）を当該ナンバー（数）の第2ナンバー（数）乗で割ったものが厳密に当該リアルナンバー（実数）たち間内にあるものたちがあるという命題を認めている。
- 読者は、\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、全てのアッパーバウンデッド（上方有界）オープンインターバル（開区間）たちおよび全てのローワーバウンデッド（下方有界）オープンインターバル（開区間）たちのセット（集合）はあるサブベーシス（基底）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、任意のベーシス（基底）または任意のサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけをチェックすれば十分であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのコンプリート（完全）にレギュラー（正則）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 注
"証明"は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）という命題のそれに類似している: 差異は、\(\{U_j \vert j \in J\}\)の構築の仕方だけである。
実のところ、\(f (U_0) = \{0\}\)および\(f (C) = \{1\}\)、ここで、\(U_0\)は、\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である、そして、ユリソーンの補助定理内におけるように、以下を満たすあるコンティニュアスマップ（連続写像）\(f: T \to [r_1, r_2]\)、つまり、\(f (C) = \{r_1\} \land f (U_0) = \{r_2\}\)または\(f (C) = \{r_2\} \land f (U_0) = \{r_1\}\)、を取ることができる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(J := \{m / 2^n \vert n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)を取り、各\(t \notin C\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J\}\)、つまり、\(t \in U_0\)および\(U_1 = T \setminus C\)、そして、以下を満たす各\(j_1, j_2 \in J\)、つまり、\(j_1 \lt j_2\)、に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)、を取る; ステップ2: \(f: T \to [0, 1], t \mapsto 1 \text{ 、 } t \notin U_1 \text{ である時 }; \mapsto Inf (\{j \in J \vert t \in U_j\}) \text{ 、 } t \in U_1\text{ である時 }\)を取り、\(f\)はあるコンティニュアスマップ（連続写像）で、\(T\)がコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であるためのコンディションたちを満たすものであることを見る。
ステップ1:
\(J := \{m / 2^n \vert n \in \mathbb{N}, m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)を取ろう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(C \subseteq T\)を、以下を満たす任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、つまり、\(t \notin C\)、としよう。
\(U_1 := T \setminus C\)、オープン（開）としよう。
\(t \in U_1\)、したがって、\(U_1\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_0 \subseteq T\)、つまり、\(\overline{U_0} \subseteq T\)はコンパクトであり\(\overline{U_0} \subseteq U_1\)、がある、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題によって。
今や、私たちは、\(n = 0\)に対して、\(J_n := \{m / 2^n \vert m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J_n\}\)、つまり、\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J_n\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)、を持つ。
以下を満たすあるオープン（開）\(U_{1 / 2^1} \subseteq T\)、つまり、\(\overline{U_0} \subseteq U_{1 / 2^1} \subseteq \overline{U_{1 / 2^1}} \subseteq U_1\)、ここで、\(\overline{U_{1 / 2^1}} \subseteq T\)はコンパクト、がある、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および任意の第1のオープンサブセット（開部分集合）でそのクローズド（閉包）がコンパクトで任意の第2のオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものに対して、第1のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）を包含するあるオープンサブセット（開部分集合）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで第2のサブセット（部分集合）内に包含されているものがあるという命題によって。
今や、私たちは、\(n = 1\)に対して、\(J_n := \{m / 2^n \vert m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J_n\}\)、つまり、\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J_n\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)で\(\overline{U_j} \subseteq T\)はコンパクトである、各\(j \in J_n \setminus \{1\}\)に対して。
私たちは、\(n = n' - 1\)に対して、\(J_n := \{m / 2^n \vert m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J_n\}\)、つまり、\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J_n\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)で\(\overline{U_j} \subseteq T\)はコンパクトである、各\(j \in J_n \setminus \{1\}\)に対して。
\(n = n'\)に対して、\(J_n := \{m / 2^n \vert m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J_n\}\)、つまり、各\((2 p + 1) / 2^n \in J_n\)、ここで、\(p \in \mathbb{N}\)で\(0 \le p \le 2^{n - 1} - 1\)を満たすもの、に対して、\(\overline{U_{(2 p) / 2^n}} \subseteq U_{(2 p + 1) / 2^n} \subseteq \overline{U_{(2 p + 1) / 2^n}} \subseteq U_{(2 p + 2) / 2^n}\)、ここで、\(\overline{U_{(2 p + 1) / 2^n}} \subseteq T\)はコンパクトである、を取る、それは可能である、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）および任意の第1のオープンサブセット（開部分集合）でそのクローズド（閉包）がコンパクトで任意の第2のオープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものに対して、第1のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）を包含するあるオープンサブセット（開部分集合）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで第2のサブセット（部分集合）内に包含されているものがあるという命題によって: 各\(U_{(2 p) / 2^n} = U_{p / 2^{n - 1}}\)および\(U_{2^n / 2^n} = U_1\)は既に決定されている。
今や、私たちは、\(n = n'\)に対して、\(J_n := \{m / 2^n \vert m \in \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } 0 \le m \le 2^n\}\)に対して、以下を満たす\(\{U_j \vert j \in J_n\}\)、つまり、\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J_n\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)で、\(\overline{U_j} \subseteq T\)はコンパクトである、各\(j \in J_n \setminus \{1\}\)に対して、なぜなら、\(j_1, j_2 \in J_{n - 1}\)である時、それは成立する; \(j_1 = (2 p + 1) / 2^n \in J_n \setminus J_{n - 1}\)である時、\((2 p + 2) / 2^n \le j_2\)、そして、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{(2 p + 2) / 2^n}\)であるところ、\(j_2 \in J_{n - 1}\)である時は、\(U_{(2 p + 2) / 2^n} \subseteq U_{j_2}\)は成立する、そして、そうでない時は、\(j_2 = (2 p' + 1) / 2^n\)、そして、\(\overline{U_{(2 p') / 2^n}} \subseteq U_{j_2}\)、しかし、\(U_{(2 p + 2) / 2^n} \subseteq U_{(2 p') / 2^n}\)、なぜなら、\(p \lt p'\)、したがって、\(p + 1 \le p'\)、そして、\(2 (p + 1) \le 2 p'\); \(j_2 = (2 p + 1) / 2^n \in J_n \setminus J_{n - 1}\)である時は、\(j_1 \le (2 p) / 2^n\)、そして、\(\overline{U_{(2 p) / 2^n}} \subseteq U_{j_2}\)である時は、\(j_1 \in J_{n - 1}\)である時は、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq \overline{U_{(2 p) / 2^n}}\)が成立する、そして、そうでない時は、\(j_1 = (2 p' + 1) / 2 ^n\)、そして、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{(2 p' + 2) / 2 ^n}\)、しかし、\(U_{(2 p' + 2) / 2 ^n} \subseteq U_{(2 p) / 2^n}\)、なぜなら、\(p' \lt p\)、したがって、\(p' + 1 \lt p\)、そして、\(2 (p' + 1) \lt 2 p\)。
したがって、インダクティブ（帰納的）に、私たちは、\(\{U_j \vert j \in J\}\)を持つ。
\(j_1 \lt j_2\)を満たす各\(j_1, j_2 \in J\)に対して、\(\overline{U_{j_1}} \subseteq U_{j_2}\)、なぜなら、\(j_1 = m / 2^n\)および\(j_2 = m' / 2^{n'}\)であるところ、\(n = n'\)である時、それが成立することを、私たちは既に知っている、なぜなら、\(j_1, j_2 \in J_n\); \(n \lt n'\)である時、\(j_1 = (2^{n ' - n} m) / 2^{n'}\)、したがって、\(j_1, j_2 \in J_{n'}\)、したがって、それは成立する; \(n' \lt n\)である時、\(j_2 = (2^{n - n'} m') / 2^n\)、したがって、\(j_1, j_2 \in J_n\)、したがって、それは成立する。
ステップ2:
\(f: T \to [0, 1], t' \mapsto 1 \text{ 、 } t' \notin U_1 \text{ である時 }; \mapsto Inf (\{j \in J \vert t' \in U_j\}) \text{ 、 } t' \in U_1 \text{ である時 }\)を定義しよう。
本定義は妥当である、なぜなら、\(\{j \in J \vert t \in U_j\}\)は空でない、\(t' \in U_1\)である時、なぜなら、\(1 \in \{j \in J \vert t' \in U_j\}\)、そして、\(\{j \in J \vert t' \in U_j\}\)は\(0\)によってローワーバウンデッド（下方有界）である。
\(f\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\((- \infty, r) \subseteq \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
\(r \le 0\)である時、\(f^{-1} ((- \infty, r)) = \emptyset\)、なぜなら、\(f\)は\([0, 1]\)の中へのものである。
\(0 \lt r\)である時、\(f^{-1} ((- \infty, r)) = \cup \{U_j \vert j \lt r\}\)、なぜなら、各\(t' \in f^{-1} ((- \infty, r))\)に対して、\(f (t') \lt r\)、以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(f (t') \lt j \lt r\)、がある、任意の\(2\)個の異なる非負リアルナンバー（実数）たちおよび\(1\)より大きい任意のナチュラルナンバー（自然数）に対して、何らかの第2および第3ナチュラルナンバー（自然数）たちで第3ナンバー（数）を当該ナンバー（数）の第2ナンバー（数）乗で割ったものが厳密に当該リアルナンバー（実数）たち間内にあるものたちがあるという命題によって、すると、\(t' \in U_j\)、なぜなら、もしも、\(t' \notin U_j\)であったら、\(t' \notin U_{j^`}\)、\(j^` \lt j\)を満たす各\(j^` \in J\)に対して、\(f (t')\)がインフィマム（下限）であったことに反する矛盾、したがって、\(t' \in \cup \{U_j \vert j \lt r\}\); 各\(t' \in \cup \{U_j \vert j \lt r\}\)に対して、\(t' \in U_j\)、\(j \lt r\)を満たすある\(j \in J\)に対して、すると、\(f (t') \le j \lt r\)、したがって、\(t' \in f^{-1} ((- \infty, r))\)。
したがって、\(f^{-1} ((- \infty, r)) \subseteq T\)はオープン（開）である。
\((r, \infty) \subseteq \mathbb{R}\)を任意のものとしよう。
\(r \lt 0\)である時、\(f^{-1} ((r, \infty)) = T\)、なぜなら、\(f\)は\([0, 1]\)の中へのものである。
\(0 \le r\)である時、\(f^{-1} ((r, \infty)) = \cup \{T \setminus U_j \vert r \lt j\}\)、なぜなら、各\(t' \in f^{-1} ((r, \infty))\)に対して、\(r \lt f (t')\)、以下を満たすある\(j \in J\)、つまり、\(r \lt j \lt f (t')\)、がある、任意の\(2\)個の異なる非負リアルナンバー（実数）たちおよび\(1\)より大きい任意のナチュラルナンバー（自然数）に対して、何らかの第2および第3ナチュラルナンバー（自然数）たちで第3ナンバー（数）を当該ナンバー（数）の第2ナンバー（数）乗で割ったものが厳密に当該リアルナンバー（実数）たち間内にあるものたちがあるという命題によって、すると、\(t' \notin U_j\)、なぜなら、もしも、\(t' \in U_j\)であったら、\(f (t') \le j\)、矛盾、したがって、\(t' \in T \setminus U_j\)、したがって、\(t' \in \cup \{T \setminus U_j \vert r \lt j\}\); 各\(t' \in \cup \{T \setminus U_j \vert r \lt j\}\)に対して、\(t' \in T \setminus U_j\)、\(r \lt j\)を満たすある\(j \in J\)に対して、\(t' \notin U_j\)、したがって、\(j \le f (t')\)、なぜなら、もしも、\(f (t') \lt j\)であったら、\(t' \in U_j\)、矛盾、したがって、\(r \lt j \le f (t')\)、したがって、\(t' \in f^{-1} ((r, \infty))\)。
しかし、\(\cup \{T \setminus U_j \vert r \lt j\} = \cup \{T \setminus \overline{U_j} \vert r \lt j\}\)、なぜなら、各\(t' \in \cup \{T \setminus U_j \vert r \lt j\}\)に対して、\(t' \in T \setminus U_j\)、\(r \lt j\)を満たすある\(j\)に対して、以下を満たすある\(j'\)、つまり、\(r \lt j' \lt j\)、がある、任意の\(2\)個の異なる非負リアルナンバー（実数）たちおよび\(1\)より大きい任意のナチュラルナンバー（自然数）に対して、何らかの第2および第3ナチュラルナンバー（自然数）たちで第3ナンバー（数）を当該ナンバー（数）の第2ナンバー（数）乗で割ったものが厳密に当該リアルナンバー（実数）たち間内にあるものたちがあるという命題によって、\(\overline{U_{j'}} \subseteq U_j\)、したがって、\(t' \in T \setminus \overline{U_{j'}}\)、したがって、\(t' \in \cup \{T \setminus \overline{U_j} \vert r \lt j\}\); 各\(t' \in \cup \{T \setminus \overline{U_j} \vert r \lt j\}\)に対して、\(t' \in T \setminus \overline{U_j}\)、以下を満たすある\(j\)、つまり、\(r \lt j\)、に対して、したがって、\(t' \notin \overline{U_j}\)、したがって、\(t' \notin U_j\)、したがって、\(t' \in T \setminus U_j\)、したがって、\(t' \in \cup \{T \setminus U_j \vert r \lt j\}\)。
したがって、\(f^{-1} ((r, \infty)) \subseteq T\)はオープン（開）である。
\(1\)-ディメンショナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）に対して、全てのアッパーバウンデッド（上方有界）オープンインターバル（開区間）たちおよび全てのローワーバウンデッド（下方有界）オープンインターバル（開区間）たちのセット（集合）はあるサブベーシス（基底）であるという命題および任意のトポロジカルスペース（空間）たち間任意のマップ（写像）のコンティニュアス（連続）性をチェックするためには、任意のベーシス（基底）または任意のサブベーシス（基底）のみのプリイメージ（前像）たちだけをチェックすれば十分であるという命題によって、\(f\)はコンティニュアス（連続）である。
\(f (t) = 0\)、なぜなら、\(t \in U_0\)。
\(f (C) = \{1\}\)、なぜなら、各\(c \in C = T \setminus U_1\)に対して、\(c \notin U_1\)。
したがって、\(f\)は、あるコンティニュアスマップ（連続写像）で、\(T\)がコンプリート（完全）にレギュラー（正則）であるためのコンディションたちを満たすものである。
したがって、\(T\)はコンプリート（完全）にレギュラー（正則）である。
