オープン（開）クウォシェント（商）マップ（写像）たちのファイナイト（有限）プロダクトはオープン（開）クウォシェント（商）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、クウォシェント（商）のユニバーサルプロパティ: 任意のトポロジカルスペース（空間）間サージェクション（全射）は、クウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、以下を満たす任意の追加のマップ（写像）、つまり、それは元のマップ（写像）のコドメイン（余域）から 任意の追加のトポロジカルスペース（空間）へのマップ（写像）である、がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、元のマップ（写像）の後の追加マップ（写像）のコンポジション（合成）がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限ってを認めている。
- 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、オープンマップ（開写像）たちの任意のファイナイト（有限）プロダクトはオープン（開）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、当該マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトマップ（写像）に対して、任意のプロダクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は、当該コンポーネントサブセット（部分集合）たちの当該コンポーネントたちマップ（写像）たち下のイメージ（像）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファイナイト（有限）数オープン（開）クウォシェント（商）マップ（写像）たちのプロダクトはオープン（開）クウォシェント（商）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{T_{j, 1} \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\{T_{j, 2} \in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\{f_j: T_{j, 1} \to T_{j, 2} \in \{\text{ 全てのオープン（開）クウォシェント（商）マップ（写像）たち }\} \vert j \in J\}\):
\(\times_{j \in J} T_{j, 1}\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(\times_{j \in J} T_{j, 2}\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(\times_{j \in J} f_j\): \(: \times_{j \in J} T_{j, 1} \to \times_{j \in J} T_{j, 2}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\times_{j \in J} f_j \in \{\text{ 全てのオープン（開）クウォシェント（商）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 注
本命題は、各\(f_j\)がオープン（開）であるよう要求する、\(\times_{j \in J} f_j\)がクウォシェント（商）であることを証明するために: 各\(f_j\)がオープン（開）であることは、単に\(\times_{j \in J} f_j\)がオープン（開）であることを証明するために要求されているのではなく、\(\times_{j \in J} f_j\)がクウォシェント（商）であることを証明するために要求されている。
3: 証明
全体戦略: クウォシェント（商）のユニバーサルプロパティ: 任意のトポロジカルスペース（空間）間サージェクション（全射）は、クウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、以下を満たす任意の追加のマップ（写像）、つまり、それは元のマップ（写像）のコドメイン（余域）から 任意の追加のトポロジカルスペース（空間）へのマップ（写像）である、がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、元のマップ（写像）の後の追加マップ（写像）のコンポジション（合成）がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限ってを適用する; ステップ1: \(\times_{j \in J} f_j\)はあるオープン（開）コンティニュアス（連続）サージェクション（全射）であることを見、\(g: \times_{j \in J} T_{j, 2} \to T_3\)を任意のマップ（写像）とし、もしも、\(g\)がコンティニュアス（連続）である場合、\(g \circ (\times_{j \in J} f_j)\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: もしも、\(g \circ (\times_{j \in J} f_j)\)がコンティニュアス（連続）である場合、\(g\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\times_{j \in J} f_j\)はあるサージェクション（全射）である、なぜなら、各\(\times_{j \in J} t_{j, 2} \in \times_{j \in J} T_{j, 2}\)に対して、各\(j \in J\)に対して、以下を満たすある\(t_{j, 1} \in T_{j, 1}\)、つまり、\(f_j (t_{j, 1}) = t_{j, 2}\)、がある、なぜなら、\(f_j\)はあるサージェクション（全射）である、そして、\(\times_{j \in J} t_{j, 1} \in \times_{j \in J} T_{j, 1}\)があり、\(\times_{j \in J} f_j (\times_{j \in J} t_{j, 1}) = \times_{j \in J} f_j (t_{j, 1}) = \times_{j \in J} t_{j, 2}\)。
\(\times_{j \in J} f_j\)はコンティニュアス（連続）である、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(\times_{j \in J} f_j\)はオープン（開）である、オープンマップ（開写像）たちの任意のファイナイト（有限）プロダクトはオープン（開）であるという命題によって。
\(g: \times_{j \in J} T_{j, 2} \to T_3\)を任意のマップ（写像）としよう、ここで、\(T_3\)は任意のトポロジカルスペース（空間）である。
もしも、\(g\)がコンティニュアス（連続）である場合、\(g \circ (\times_{j \in J} f_j)\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
ステップ2:
\(g \circ (\times_{j \in J} f_j)\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
\(g\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(U \subseteq T_3\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\((g \circ (\times_{j \in J} f_j))^{-1} (U) \subseteq \times_{j \in J} T_{j, 1}\)はオープン（開）である、なぜなら、\(g \circ (\times_{j \in J} f_j)\)はコンティニュアス（連続）である、\(= \cup_{l \in L} \times_{j \in J} U_{j, l}\)、ここで、\(L\)はあるアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、\(U_{j, l} \subseteq T_{j, 1}\)はあるオープンサブセット（開部分集合）である、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって。
\((g \circ (\times_{j \in J} f_j))^{-1} (U) = (\times_{j \in J} f_j)^{-1} (U) (g^{-1} (U))\)、任意のマップ（写像）たちコンポジション（合成）に対して、当該コンポジション（合成）下のプリイメージ（前像）はマップ（写像）プリイメージ（前像）たちの逆順でのコンポジション（合成）であるという命題によって。
\((\times_{j \in J} f_j) ((\times_{j \in J} f_j)^{-1} (U) (g^{-1} (U))) = g^{-1} (U)\)、任意のセット（集合）たち間の任意のマップ（写像）に対して、コドメイン（余域）の任意のサブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）の後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、当該マップ（写像）が引数サブセット（部分集合）に関してサージェクティブ（全射）である場合、という命題によって: \(\times_{j \in J} f_j\)は\(g^{-1} (U)\)に関してサージェクティブ（全射）である、なぜなら、\(\times_{j \in J} f_j\)はあるサージェクション（全射）である。
\(= (\times_{j \in J} f_j) (\cup_{l \in L} \times_{j \in J} U_{j, l}) = \cup_{l \in L} (\times_{j \in J} f_j) (\times_{j \in J} U_{j, l})\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのユニオン（和集合）、のマップ（写像）イメージ（像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）イメージ（像）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup_{l \in L} \times_{j \in J} f_j (U_{j, l})\)、任意のプロダクトマップ（写像）に対して、任意のプロダクトサブセット（部分集合）のイメージ（像）は、当該コンポーネントサブセット（部分集合）たちの当該コンポーネントたちマップ（写像）たち下のイメージ（像）たちのプロダクトであるという命題によって。
各\(f_j\)はオープン（開）であるから、各\(f_j (U_{j, l})\)はオープン（開）である、各\(\times_{j \in J} f_j (U_{j, l})\)はオープン（開）である、プロダクトトポロジーの定義に対する"注"によって、そして、\(\cup_{l \in L} \times_{j \in J} f_j (U_{j, l})\)はオープン（開）である、オープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）として。
したがって、\(g^{-1} (U)\)はオープン（開）である。
したがって、\(g\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ3:
したがって、クウォシェント（商）のユニバーサルプロパティ: 任意のトポロジカルスペース（空間）間サージェクション（全射）は、クウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、以下を満たす任意の追加のマップ（写像）、つまり、それは元のマップ（写像）のコドメイン（余域）から 任意の追加のトポロジカルスペース（空間）へのマップ（写像）である、がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、元のマップ（写像）の後の追加マップ（写像）のコンポジション（合成）がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限ってによって、\(\times_{j \in J} f_j\)はクウォシェント（商）である。
