\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、インクルージョン（封入）、2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はプシュフォワードされエクステンデッド（拡張された）ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）をプルバックしたものであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のレギュラードメインの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間\(C^\infty\)マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、当該マニフォールド（多様体）の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、当該ベクトルたちフィールド後当該インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で\(C^\infty\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラードメイン、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該レギュラードメインから当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）を当該マニフォールド（多様体）の当該サブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は\(C^\infty\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、はプロパーにエンベッデッドされている、もしも、それがクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベーススペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った任意の\(C^\infty\)セクション（断面）は、当該ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートが当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）から任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）中への任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関するある\(C^k\)エクステンション（拡張）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）、当該マップ（写像）リレイテッド（関連した）な、ドメイン（定義域）上の任意の2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちおよびコドメイン（余域）上の任意の2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ドメイン（定義域）上の当該ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はコドメイン（余域）上の当該ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）へ当該マップ（写像）リレイテッド（関連した）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のレギュラードメイン、当該レギュラードメインの当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の中へのインクルージョン（封入）、当該レギュラードメイン上方の任意の2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、当該ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）は任意のプシュフォワードされエクステンデッド（拡張された）ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）をプルバックしたものであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M'\): \(\in \{ \text{ 全ての } d' \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）たち } \}\)
\(M\): \(\in \{M' \text{ の全てレギュラードメインたちf }\}\)
\(\iota\): \(: M \to M'\), \(= \text{ 当該インクルージョン（封入） }\)
\(V\): \(: M \to TM\), \(\in \Gamma (TM)\)
\(W\): \(: M \to TM\), \(\in \Gamma (TM)\)
\(d \iota\): \(: TM \to TM'\), \(= \text{ 当該ディファレンシャル }\)
//
ステートメント（言明）たち:
\([V, W] = \lambda ([\tau V, \tau W])\)、ここで、\(\tau\)は\(TM\)上の各ベクトルを\(TM'\)の中へ\(d \iota\)によってプッシュフォワードしそれを\(M'\)上方にスムーズにエクステンド（拡張）し、\(\lambda\)は\(d \iota\)によってプッシュフォワードされた各ベクトルをプルバックする
//
2: 注1
\(\tau\)が意味をなすためには、\(d \iota \circ V: M \to TM'\)および\(d \iota \circ W: M \to TM'\)は\(C^\infty\)であると証明されなければならず、\(d \iota \circ V\)および\(d \iota \circ W\)はスムーズにエクステンド（拡張）できると証明されなければならない、それは、"証明"内で行なわれる。
\(\lambda\)が意味をなすためには、\(\iota (M)\)上の各ポイントにおける\([\tau V, \tau W]\)は\(TM\)上のあるベクトルのプシュフォワードされたものであると証明されなければならない、それは、"証明"内で行なわれる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(d \iota \circ V: M \to TM'\)および\(d \iota \circ W: M \to TM'\)は\(C^\infty\)マップ（写像）たちであることを見る; ステップ2: \(d \iota \circ V: M \to TM'\)および\(d \iota \circ W: M \to TM'\)は何らかの\(C^\infty\) \(\tau V \in \Gamma (TM')\)および\(\tau W \in \Gamma (TM')\)へエクステンド（拡張）できることを見る; ステップ3: \([V, W]\)は\([\tau V, \tau W]\)へ\(\iota\)-リレイテッド（関連した）であることを見る、それが意味するのは、\([V, W]\)は\(\tau ([V, W]) = [\tau V, \tau W]\)へプシュフォワードしエクステンド（拡張）できるということ; ステップ4: \(\lambda \circ \tau ([V, W]) = \lambda ([\tau V, \tau W])\)を行なう。
ステップ1:
\(d \iota \circ V: M \to TM'\)は\(C^\infty\)であることを見よう。
実のところ、それは、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、当該マニフォールド（多様体）の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、当該ベクトルたちフィールド後当該インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で\(C^\infty\)であるという命題によって証明された。
\(d \iota \circ W: M \to TM'\)は\(C^\infty\)である、同様に。
ステップ2:
\(d \iota \circ V: M \to TM'\)はドメイン（定義域）を当該レギュラードメインとみなして\(C^\infty\)であるところ、それは、ドメイン（定義域）を\(M'\)のサブセット（部分集合）とみなしても\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラードメイン、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該レギュラードメインから当該\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）を当該マニフォールド（多様体）の当該サブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は\(C^\infty\)であるという命題によって。
\(\iota (M) \subseteq M'\)は\(M'\)上でクローズド（閉）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、はプロパーにエンベッデッドされている、もしも、それがクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
\(d \iota \circ V\)はある\(\tau V \in \Gamma (TM')\)へエクステンド（拡張）できる、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベーススペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った任意の\(C^\infty\)セクション（断面）は、当該ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートが当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできるという命題によって、その一方、\(d \iota \circ V\)は本当に\(\iota (M)\)に沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）である、任意のバウンダリー（境界）付き\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）から任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）中への任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関するある\(C^k\)エクステンション（拡張）があるという命題によって: サブセット（部分集合）に沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）の定義は、ある\(C^\infty\)エクステンション（拡張）があるということに他ならない。
\(d \iota \circ W\)はある\(\tau V \in \Gamma (TM')\)へエクステンド（拡張）できる、同様に。
ステップ3:
\(V\)は\(\tau V\)へ\(\iota\)-リレイテッド（関連した）である、なぜなら、\(d \iota V_p = (\tau V)_{\iota (p)}\)。
\(W\)は\(\tau W\)へ\(\iota\)-リレイテッド（関連した）である、同様に。
したがって、\([V, W]\)は\([\tau V, \tau W]\)へ\(\iota\)-リレイテッド（関連した）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）、当該マップ（写像）リレイテッド（関連した）な、ドメイン（定義域）上の任意の2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちおよびコドメイン（余域）上の任意の2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ドメイン（定義域）上の当該ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はコドメイン（余域）上の当該ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）へ当該マップ（写像）リレイテッド（関連した）であるという命題によって。
それが意味するのは、\([V, W]\)はプッシュフォワードしエクステンド（拡張）して\([\tau V, \tau W]\)にできるということ、それを、\(\tau ([V, W]) = [\tau V, \tau W]\)と記す。
ステップ4:
\(\lambda \circ \tau ([V, W])\)は妥当である、なぜなら、\(d \iota_p\)は各\(p \in M\)においてバイジェクティブ（全単射）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、そして、各\(\iota (p)\)における\(\tau ([V, W])\)は\(T_pM\)内のベクトル\([V, W]_p\)をプッシュフォワードしたものである。
\(\lambda \circ \tau ([V, W]) = \lambda ([\tau V, \tau W])\)を行なおう、しかし、\(\lambda \circ \tau = id\)、アイデンティティマップ（恒等写像）、したがって、\([V, W] = \lambda \circ \tau ([V, W]) = \lambda ([\tau V, \tau W])\)。
4: 注2
本命題の即座のある系は、\(\lambda ([\tau V, \tau W])\)は\(M'\)にもエクステンション（拡張）にも依存しないということ（なぜなら、それは\([V, W]\)（それは、\(M'\)もエクステンション（拡張）も知らない）に等しい）、それが、実のところ、本命題の即座の目的である: \(W\)の\(V\)による任意のバウンダリー（境界）ポイント\(p \in \partial M\)におけるリーデリバティブは、\(\tau W\)の\(\tau V\)による\(\iota (p)\)におけるリーデリバティブをプルバックしたものと定義されているが、それは、\(\lambda ([\tau V, \tau W]_{\iota (p)})\)に等しく、それは\(M'\)にもエクステンション（拡張）にも依存しないと証明される必要がある。
