\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、レギュラードメイン、インクルージョン(封入)、2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド(場)たちに対して、ベクトルたちフィールド(場)たちのリーブラケット(コミューテイター)はプシュフォワードされエクステンデッド(拡張された)ベクトルたちフィールド(場)たちのリーブラケット(コミューテイター)をプルバックしたものであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド(多様体)
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、のレギュラードメインの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド(場)の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド(場)たちのリーブラケット(コミューテイター)の定義を知っている。
- 読者は、バウンダリー(境界)付き\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)たち間\(C^\infty\)マップ(写像)のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、当該マニフォールド(多様体)の任意のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、当該サブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、上方の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、当該ベクトルたちフィールド後当該インクルージョン(封入)によるディファレンシャルは、当該サブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、上方で\(C^\infty\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、その任意のレギュラードメイン、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、当該レギュラードメインから当該\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、の中への任意の\(C^\infty\)マップ(写像)に対して、ドメイン(定義域)を当該マニフォールド(多様体)の当該サブセット(部分集合)とみなした対応するマップ(写像)は\(C^\infty\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、に対して、当該マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、はプロパーにエンベッデッドされている、もしも、それがクローズド(閉)である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)に対して、当該ベーススペース(空間)の任意のクローズドサブセット(閉部分集合)に沿った任意の\(C^\infty\)セクション(断面)は、当該ベーススペース(空間)全体上方へ拡張し、サポートが当該サブセット(部分集合)の任意のオープンネイバーフッド(開近傍)内に包含されるようにできるという命題を認めている。
- 読者は、任意のバウンダリー(境界)付き\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)の任意のサブセット(部分集合)から任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)の任意のサブセット(部分集合)中への任意のマップ(写像)で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド(開近傍)ドメイン(定義域)に関するある\(C^k\)エクステンション(拡張)があるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ(写像)、当該マップ(写像)リレイテッド(関連した)な、ドメイン(定義域)上の任意の2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド(場)たちおよびコドメイン(余域)上の任意の2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド(場)たちに対して、ドメイン(定義域)上の当該ベクトルたちフィールド(場)たちのリーブラケット(コミューテイター)はコドメイン(余域)上の当該ベクトルたちフィールド(場)たちのリーブラケット(コミューテイター)へ当該マップ(写像)リレイテッド(関連した)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン(封入)のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィズム(同形写像)であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、当該\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)の任意のレギュラードメイン、当該レギュラードメインの当該\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)の中へのインクルージョン(封入)、当該レギュラードメイン上方の任意の2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド(場)たちに対して、当該ベクトルたちフィールド(場)たちのリーブラケット(コミューテイター)は任意のプシュフォワードされエクステンデッド(拡張された)ベクトルたちフィールド(場)たちのリーブラケット(コミューテイター)をプルバックしたものであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ(実体)たち:
\(M'\): \(\in \{ \text{ 全ての } d' \text{ -ディメンショナル(次元) } C^\infty \text{ マニフォールド(多様体)たち } \}\)
\(M\): \(\in \{M' \text{ の全てレギュラードメインたちf }\}\)
\(\iota\): \(: M \to M'\), \(= \text{ 当該インクルージョン(封入) }\)
\(V\): \(: M \to TM\), \(\in \Gamma (TM)\)
\(W\): \(: M \to TM\), \(\in \Gamma (TM)\)
\(d \iota\): \(: TM \to TM'\), \(= \text{ 当該ディファレンシャル }\)
//
ステートメント(言明)たち:
\([V, W] = \lambda ([\tau V, \tau W])\)、ここで、\(\tau\)は\(TM\)上の各ベクトルを\(TM'\)の中へ\(d \iota\)によってプッシュフォワードしそれを\(M'\)上方にスムーズにエクステンド(拡張)し、\(\lambda\)は\(d \iota\)によってプッシュフォワードされた各ベクトルをプルバックする
//
2: 注1
\(\tau\)が意味をなすためには、\(d \iota \circ V: M \to TM'\)および\(d \iota \circ W: M \to TM'\)は\(C^\infty\)であると証明されなければならず、\(d \iota \circ V\)および\(d \iota \circ W\)はスムーズにエクステンド(拡張)できると証明されなければならない、それは、"証明"内で行なわれる。
\(\lambda\)が意味をなすためには、\(\iota (M)\)上の各ポイントにおける\([\tau V, \tau W]\)は\(TM\)上のあるベクトルのプシュフォワードされたものであると証明されなければならない、それは、"証明"内で行なわれる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(d \iota \circ V: M \to TM'\)および\(d \iota \circ W: M \to TM'\)は\(C^\infty\)マップ(写像)たちであることを見る; ステップ2: \(d \iota \circ V: M \to TM'\)および\(d \iota \circ W: M \to TM'\)は何らかの\(C^\infty\) \(\tau V \in \Gamma (TM')\)および\(\tau W \in \Gamma (TM')\)へエクステンド(拡張)できることを見る; ステップ3: \([V, W]\)は\([\tau V, \tau W]\)へ\(\iota\)-リレイテッド(関連した)であることを見る、それが意味するのは、\([V, W]\)は\(\tau ([V, W]) = [\tau V, \tau W]\)へプシュフォワードしエクステンド(拡張)できるということ; ステップ4: \(\lambda \circ \tau ([V, W]) = \lambda ([\tau V, \tau W])\)を行なう。
ステップ1:
\(d \iota \circ V: M \to TM'\)は\(C^\infty\)であることを見よう。
実のところ、それは、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、当該マニフォールド(多様体)の任意のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、当該サブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、上方の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、当該ベクトルたちフィールド後当該インクルージョン(封入)によるディファレンシャルは、当該サブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、上方で\(C^\infty\)であるという命題によって証明された。
\(d \iota \circ W: M \to TM'\)は\(C^\infty\)である、同様に。
ステップ2:
\(d \iota \circ V: M \to TM'\)はドメイン(定義域)を当該レギュラードメインとみなして\(C^\infty\)であるところ、それは、ドメイン(定義域)を\(M'\)のサブセット(部分集合)とみなしても\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、その任意のレギュラードメイン、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、当該レギュラードメインから当該\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、の中への任意の\(C^\infty\)マップ(写像)に対して、ドメイン(定義域)を当該マニフォールド(多様体)の当該サブセット(部分集合)とみなした対応するマップ(写像)は\(C^\infty\)であるという命題によって。
\(\iota (M) \subseteq M'\)は\(M'\)上でクローズド(閉)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、に対して、当該マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド(部分多様体)、バウンダリー(境界)付き、はプロパーにエンベッデッドされている、もしも、それがクローズド(閉)である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。
\(d \iota \circ V\)はある\(\tau V \in \Gamma (TM')\)へエクステンド(拡張)できる、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル(束)に対して、当該ベーススペース(空間)の任意のクローズドサブセット(閉部分集合)に沿った任意の\(C^\infty\)セクション(断面)は、当該ベーススペース(空間)全体上方へ拡張し、サポートが当該サブセット(部分集合)の任意のオープンネイバーフッド(開近傍)内に包含されるようにできるという命題によって、その一方、\(d \iota \circ V\)は本当に\(\iota (M)\)に沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド(場)である、任意のバウンダリー(境界)付き\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)の任意のサブセット(部分集合)から任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)の任意のサブセット(部分集合)中への任意のマップ(写像)で任意のポイントにおいて\(C^k\)であるものに対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド(開近傍)ドメイン(定義域)に関するある\(C^k\)エクステンション(拡張)があるという命題によって: サブセット(部分集合)に沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド(場)の定義は、ある\(C^\infty\)エクステンション(拡張)があるということに他ならない。
\(d \iota \circ W\)はある\(\tau V \in \Gamma (TM')\)へエクステンド(拡張)できる、同様に。
ステップ3:
\(V\)は\(\tau V\)へ\(\iota\)-リレイテッド(関連した)である、なぜなら、\(d \iota V_p = (\tau V)_{\iota (p)}\)。
\(W\)は\(\tau W\)へ\(\iota\)-リレイテッド(関連した)である、同様に。
したがって、\([V, W]\)は\([\tau V, \tau W]\)へ\(\iota\)-リレイテッド(関連した)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、たち間の任意の\(C^\infty\)マップ(写像)、当該マップ(写像)リレイテッド(関連した)な、ドメイン(定義域)上の任意の2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド(場)たちおよびコドメイン(余域)上の任意の2個の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド(場)たちに対して、ドメイン(定義域)上の当該ベクトルたちフィールド(場)たちのリーブラケット(コミューテイター)はコドメイン(余域)上の当該ベクトルたちフィールド(場)たちのリーブラケット(コミューテイター)へ当該マップ(写像)リレイテッド(関連した)であるという命題によって。
それが意味するのは、\([V, W]\)はプッシュフォワードしエクステンド(拡張)して\([\tau V, \tau W]\)にできるということ、それを、\(\tau ([V, W]) = [\tau V, \tau W]\)と記す。
ステップ4:
\(\lambda \circ \tau ([V, W])\)は妥当である、なぜなら、\(d \iota_p\)は各\(p \in M\)においてバイジェクティブ(全単射)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド(多様体)、バウンダリー(境界)付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン(封入)のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース(空間)たち - リニア(線形)モーフィズム(射)たち'アイソモーフィズム(同形写像)であるという命題によって、そして、各\(\iota (p)\)における\(\tau ([V, W])\)は\(T_pM\)内のベクトル\([V, W]_p\)をプッシュフォワードしたものである。
\(\lambda \circ \tau ([V, W]) = \lambda ([\tau V, \tau W])\)を行なおう、しかし、\(\lambda \circ \tau = id\)、アイデンティティマップ(恒等写像)、したがって、\([V, W] = \lambda \circ \tau ([V, W]) = \lambda ([\tau V, \tau W])\)。
4: 注2
本命題の即座のある系は、\(\lambda ([\tau V, \tau W])\)は\(M'\)にもエクステンション(拡張)にも依存しないということ(なぜなら、それは\([V, W]\)(それは、\(M'\)もエクステンション(拡張)も知らない)に等しい)、それが、実のところ、本命題の即座の目的である: \(W\)の\(V\)による任意のバウンダリー(境界)ポイント\(p \in \partial M\)におけるリーデリバティブは、\(\tau W\)の\(\tau V\)による\(\iota (p)\)におけるリーデリバティブをプルバックしたものと定義されているが、それは、\(\lambda ([\tau V, \tau W]_{\iota (p)})\)に等しく、それは\(M'\)にもエクステンション(拡張)にも依存しないと証明される必要がある。