1046: C∞マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、インクルージョン（封入）、2個のC∞ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はプシュフォワードされエクステンデッド（拡張された）ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）をプルバックしたものである

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、レギュラードメイン、インクルージョン（封入）、2個の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はプシュフォワードされエクステンデッド（拡張された）ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）をプルバックしたものであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注1
• 3: 証明
• 4: 注2

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のレギュラードメインの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）の定義を知っている。
• 読者は、バウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のポイントにおけるディファレンシャルの定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、当該マニフォールド（多様体）の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールドに対して、当該ベクトルたちフィールド後当該インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラードメイン、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該レギュラードメインから当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）を当該マニフォールド（多様体）の当該サブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、はプロパーにエンベッデッドされている、もしも、それがクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベーススペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った任意の$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）は、当該ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートが当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできるという命題を認めている。
• 読者は、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）から任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）中への任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるものに対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関するある$C^k$エクステンション（拡張）があるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）、当該マップ（写像）リレイテッド（関連した）な、ドメイン（定義域）上の任意の2個の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）たちおよびコドメイン（余域）上の任意の2個の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ドメイン（定義域）上の当該ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はコドメイン（余域）上の当該ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）へ当該マップ（写像）リレイテッド（関連した）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のレギュラードメイン、当該レギュラードメインの当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の中へのインクルージョン（封入）、当該レギュラードメイン上方の任意の2個の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、当該ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）は任意のプシュフォワードされエクステンデッド（拡張された）ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）をプルバックしたものであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M^{\prime }$: $\in \{\text{ 全ての }{d}^{\prime }\text{ -ディメンショナル（次元） }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）たち }\}$
$M$: $\in \{M^{\prime }\text{ の全てレギュラードメインたちf }\}$
$\iota$: $:M\to M^{\prime }$, $=\text{ 当該インクルージョン（封入） }$
$V$: $:M\to TM$, $\in \mathrm{\Gamma }(TM)$
$W$: $:M\to TM$, $\in \mathrm{\Gamma }(TM)$
$d\iota$: $:TM\to T{M}^{\prime }$, $=\text{ 当該ディファレンシャル }$
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ステートメント（言明）たち:
$[V,W]=\lambda ([\tau V,\tau W])$、ここで、$\tau$は$TM$上の各ベクトルを$T{M}^{\prime }$の中へ$d\iota$によってプッシュフォワードしそれを$M^{\prime }$上方にスムーズにエクステンド（拡張）し、$\lambda$は$d\iota$によってプッシュフォワードされた各ベクトルをプルバックする
//

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2: 注1

$\tau$が意味をなすためには、$d\iota \circ V:M\to T{M}^{\prime }$および$d\iota \circ W:M\to T{M}^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると証明されなければならず、$d\iota \circ V$および$d\iota \circ W$はスムーズにエクステンド（拡張）できると証明されなければならない、それは、"証明"内で行なわれる。

$\lambda$が意味をなすためには、$\iota (M)$上の各ポイントにおける$[\tau V,\tau W]$は$TM$上のあるベクトルのプシュフォワードされたものであると証明されなければならない、それは、"証明"内で行なわれる。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $d\iota \circ V:M\to T{M}^{\prime }$および$d\iota \circ W:M\to T{M}^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）たちであることを見る; ステップ2: $d\iota \circ V:M\to T{M}^{\prime }$および$d\iota \circ W:M\to T{M}^{\prime }$は何らかの$C^{\mathrm{\infty }}$ $\tau V\in \mathrm{\Gamma }(T{M}^{\prime })$および$\tau W\in \mathrm{\Gamma }(T{M}^{\prime })$へエクステンド（拡張）できることを見る; ステップ3: $[V,W]$は$[\tau V,\tau W]$へ$\iota$-リレイテッド（関連した）であることを見る、それが意味するのは、$[V,W]$は$\tau ([V,W])=[\tau V,\tau W]$へプシュフォワードしエクステンド（拡張）できるということ; ステップ4: $\lambda \circ \tau ([V,W])=\lambda ([\tau V,\tau W])$を行なう。

ステップ1:

$d\iota \circ V:M\to T{M}^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう。

実のところ、それは、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、当該マニフォールド（多様体）の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールドに対して、当該ベクトルたちフィールド後当該インクルージョン（封入）によるディファレンシャルは、当該サブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方で$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって証明された。

$d\iota \circ W:M\to T{M}^{\prime }$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、同様に。

ステップ2:

$d\iota \circ V:M\to T{M}^{\prime }$はドメイン（定義域）を当該レギュラードメインとみなして$C^{\mathrm{\infty }}$であるところ、それは、ドメイン（定義域）を$M^{\prime }$のサブセット（部分集合）とみなしても$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラードメイン、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、当該レギュラードメインから当該$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の中への任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）に対して、ドメイン（定義域）を当該マニフォールド（多様体）の当該サブセット（部分集合）とみなした対応するマップ（写像）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。

$\iota (M)\subseteq M^{\prime }$は$M^{\prime }$上でクローズド（閉）である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、当該マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の任意のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付き、はプロパーにエンベッデッドされている、もしも、それがクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。

$d\iota \circ V$はある$\tau V\in \mathrm{\Gamma }(T{M}^{\prime })$へエクステンド（拡張）できる、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベーススペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）に沿った任意の$C^{\mathrm{\infty }}$セクション（断面）は、当該ベーススペース（空間）全体上方へ拡張し、サポートが当該サブセット（部分集合）の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）内に包含されるようにできるという命題によって、その一方、$d\iota \circ V$は本当に$\iota (M)$に沿った$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）である、任意のバウンダリー（境界）付き$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）から任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のサブセット（部分集合）中への任意のマップ（写像）で任意のポイントにおいて$C^k$であるものに対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）ドメイン（定義域）に関するある$C^k$エクステンション（拡張）があるという命題によって: サブセット（部分集合）に沿った$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義は、ある$C^{\mathrm{\infty }}$エクステンション（拡張）があるということに他ならない。

$d\iota \circ W$はある$\tau V\in \mathrm{\Gamma }(T{M}^{\prime })$へエクステンド（拡張）できる、同様に。

ステップ3:

$V$は$\tau V$へ$\iota$-リレイテッド（関連した）である、なぜなら、$d\iota V_p=(\tau V{)}_{\iota (p)}$。

$W$は$\tau W$へ$\iota$-リレイテッド（関連した）である、同様に。

したがって、$[V,W]$は$[\tau V,\tau W]$へ$\iota$-リレイテッド（関連した）である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）、当該マップ（写像）リレイテッド（関連した）な、ドメイン（定義域）上の任意の2個の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）たちおよびコドメイン（余域）上の任意の2個の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）たちに対して、ドメイン（定義域）上の当該ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）はコドメイン（余域）上の当該ベクトルたちフィールド（場）たちのリーブラケット（コミューテイター）へ当該マップ（写像）リレイテッド（関連した）であるという命題によって。

それが意味するのは、$[V,W]$はプッシュフォワードしエクステンド（拡張）して$[\tau V,\tau W]$にできるということ、それを、$\tau ([V,W])=[\tau V,\tau W]$と記す。

ステップ4:

$\lambda \circ \tau ([V,W])$は妥当である、なぜなら、$d{\iota }_p$は各$p\in M$においてバイジェクティブ（全単射）である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、任意のレギュラードメインに対して、当該レギュラードメイン上の各ポイントにおけるインクルージョン（封入）のディファレンシャルは'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、そして、各$\iota (p)$における$\tau ([V,W])$は$T_{p}M$内のベクトル$[V,W{]}_p$をプッシュフォワードしたものである。

$\lambda \circ \tau ([V,W])=\lambda ([\tau V,\tau W])$を行なおう、しかし、$\lambda \circ \tau =id$、アイデンティティマップ（恒等写像）、したがって、$[V,W]=\lambda \circ \tau ([V,W])=\lambda ([\tau V,\tau W])$。

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4: 注2

本命題の即座のある系は、$\lambda ([\tau V,\tau W])$は$M^{\prime }$にもエクステンション（拡張）にも依存しないということ（なぜなら、それは$[V,W]$（それは、$M^{\prime }$もエクステンション（拡張）も知らない）に等しい）、それが、実のところ、本命題の即座の目的である: $W$の$V$による任意のバウンダリー（境界）ポイント$p\in \partial M$におけるリーデリバティブは、$\tau W$の$\tau V$による$\iota (p)$におけるリーデリバティブをプルバックしたものと定義されているが、それは、$\lambda ([\tau V,\tau W{]}_{\iota (p)})$に等しく、それは$M^{\prime }$にもエクステンション（拡張）にも依存しないと証明される必要がある。

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参考資料

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