ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の\(1\)-ポイントコンパクト化の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のオープンセット（開集合）マイナス任意のクローズドセット（閉集合）はオープン（開）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の\(1\)-ポイントコンパクト化の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( T\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)で、トポロジー\(O\)を持つもの
\(*T^+\): \(= T \cup \{\infty\}\)で、トポロジー\(O^+ := O \cup \{T^+ \setminus K \vert K \in \{T\text{ の全てのコンパクトサブセット（部分集合）たち }\}\}\)
//
コンディションたち:
//
\(T^+\)は、実のところ、あるコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）で\(T\)をサブスペース（部分空間）として持つものである、任意のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、当該\(1\)-ポイントコンパクト化のトポロジーは、当該\(1\)-ポイントが追加されたセット（集合）をコンパクトハウスドルフにし元のスペース（空間）をサブスペース（部分空間）として持つ唯一のトポロジーであるという命題によって。
2: 注
追加されたポイント\(\infty\)は、無限に大きいとか何かの特別な意味は全くなく、単に、\(T\)内に包含されていない任意のポイントである、したがって、任意のポイント\(p \notin T\)を\(\infty\)の代わりに使うことができる。
\(O^+\)が本当にあるトポロジーであることを見よう。
\(\emptyset \in O^+\)、なぜなら、\(\emptyset \in O\)。
\(T^+ = T^+ \setminus \emptyset \in O^+\)、なぜなら、\(\emptyset \subseteq T\)はコンパクトである。
\(U_1, U_2 \in O^+\)を任意のものとしよう。
\(U_1, U_2 \in O\)、\(U_1 \in O\)および\(U_2 = T^+ \setminus K\)、\(U_1 = T^+ \setminus K_1\)および\(U_2 = T^+ \setminus K_2\)、のいずれかである、一般性を失わうことなく。
\(U_1, U_2 \in O\)である時は、\(U_1 \cap U_2 \in O\)、したがって、\(U_1 \cap U_2 \in O^+\)。
\(U_1 \in O\)および\(U_2 = T^+ \setminus K\)である時は、\(U_1 \cap U_2 = U_1 \cap (T^+ \setminus K) = (U_1 \cap T^+) \setminus (U_1 \cap K)\)、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題によって、\(= U_1 \setminus K\)、しかし、\(K \subseteq T\)はクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって、したがって、\(U_1 \setminus K \subseteq T\)はオープン（開）である、任意のオープンセット（開集合）マイナス任意のクローズドセット（閉集合）はオープン（開）であるという命題によって、したがって、\(U_1 \cap U_2 \in O\)、したがって、\(U_1 \cap U_2 \in O^+\)。
\(U_1 = T^+ \setminus K_1\)および\(U_2 = T^+ \setminus K_2\)である時は、\(U_1 \cap U_2 = (T^+ \setminus K_1) \cap (T^+ \setminus K_2) = T^+ \setminus (K_1 \cup K_2)\)、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって、しかし、\(K_1 \cup K_2 \subseteq T\)はコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）数コンパクトサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はコンパクトであるという命題によって、したがって、\(U_1 \cap U_2 \in O^+\)。
\(\{U_j \in O^+ \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）、を任意のものとしよう。
\(\{U_j \in O^+ \vert j \in J\} \subseteq O\)であるか、そうでないかである。
\(\{U_j \in O^+ \vert j \in J\} \subseteq O\)である時は、\(\cup_{j \in J} U_j \in O\)、したがって、\(\cup_{j \in J} U_j \in O^+\)。
そうでない時は、以下を満たす少なくとも\(1\)個の\(U_l\)、つまり、\(U_l \notin O\)、がある、それが意味するのは、\(U_l = T^+ \setminus K\)、\(S := T^+ \setminus (\cup_{j \in J} U_j) = \cap_{j \in J} (T^+ \setminus U_j)\)、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）であるかもしれない数のサブセット（部分集合）たち、のコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって、\(= (T^+ \setminus U_l) \cap (\cap_{j \in J \setminus \{l\}} (T^+ \setminus U_j)) = K \cap (\cap_{j \in J \setminus \{l\}} (T^+ \setminus U_j)) = K \cap (\cap_{j \in J \setminus \{l\}} (T \setminus U_j))\)、しかし、\(T \setminus U_j\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、\(U_j \in O\)である時は、そして、\(T\)上でクローズド（閉）である、\(U_j = T^+ \setminus K_j\)である時は、なぜなら、\(T \setminus U_j = T \setminus (T^+ \setminus K_j) = K_j\)、\(T\)上でクローズド（閉）、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって、したがって、\(\cap_{j \in J \setminus \{l\}} (T \setminus U_j)\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、\(K \cap (\cap_{j \in J \setminus \{l\}} (T \setminus U_j))\)は\(K\)上でクローズド（閉）であり、\(K\)上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって: \(K\)はあるコンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって、したがって、\(S\)は\(T\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって、そして、\(\cup_{j \in J} U_j = T^+ \setminus S\)、したがって、\(\cup_{j \in J} U_j \in O^+\)。
したがって、\(O^+\)はあるトポロジーである。
