パラコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）、スペース（空間）のオープンカバー（開被覆）、ローカルにファイナイト（有限）リファインメントに対して、リファインメントに従属するユニティのパーティションがあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）を知っている。
- 読者は、ユニティのパーティション、トポロジカルスペース（空間）のオープンカバー（開被覆）に従属する、の定義を知っている。
- 読者は、任意のセット（集合）でオーダリング（順序）を包含として持つものは、あるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のパラコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、各オープンサブセット（開部分集合）に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されている各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、あるオープンサブセット（開部分集合）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含しそのクロージャー（閉包）が当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）という命題を認めている。
- 読者は、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、任意のファイナイトサブセット（有限部分集合）は一列に並べることができるという命題を認めている。
- 読者は、ハウスドルフマキシマル（上限）プリンシプル（律）: 任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）の任意のチェイン（鎖）はあるマキシマル（上限）チェイン（鎖）内に包含されている、を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）たちの任意のセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、当該マップ（写像）たちの合計はコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のパラコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）、当該スペース（空間）の任意のオープンカバー（開被覆）、当該カバー（被覆）の任意のローカルにファイナイト（有限）リファインメントに対して、当該リファインメントに従属するある、ユニティのパーティションがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのパラコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{U_j \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \vert j \in J\}\): で、以下を満たすもの、つまり、\(T = \cup_{j \in J} U_j\)
\(L\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{V_l \vert l \in L\}\): \(\in \{\{U_j \vert j \in J\} \text{ の全てのローカルにファイナイト（有限）リファインメントたち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists \{\rho_l \vert l \in L\} \in \{\{V_l \vert l \in L\} \text{ に従属する全ての、ユニティーのパーティションたち }\}\)
//
2: 注
任意の\(\{U_j \vert j \in J\}\)に対して、ある\(\{V_l \vert l \in L\}\)がある、パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義によって、そして、\(\{V_l \vert l \in L\}\)の任意の選択に対して、ある\(\{\rho_l \vert l \in L\}\)がある、本命題によって。
\(\{U_j \vert j \in J\}\)に従属するある、ユニティーのパーティションがある、任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）の任意のオープンカバー（開被覆）に対して、もしも、当該オープンカバー（開被覆）の任意のローカルにファイナイト（有限）リファインメントおよび当該リファインメントにに従属する任意の、ユニティのパーティションがある場合、元のカバー（被覆）に従属するある、ユニティーのパーティションがあるという命題によって。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下のセット（集合）たち、つまり、\(F := \{f: T \to [0, 1] \vert f \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\}\)、\(S'' := \cup_{L^` \subseteq L} \{g: L^` \to F\}\)、\(S' := \{g \in S'' \vert \forall l \in Dom (g) (\overline{g (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})} \subseteq V_l) \land T = (\cup_{l \in Dom (g)} g (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})) \cup (\cup_{l \in L \setminus Dom (g)} V_l)\}\)、\(S := \{\{(l, g (l)) \vert l \in Dom (g)\} \vert g \in S'\}\)、を取る; ステップ2: \(S\)のあるマキシマル（上限）チェイン（鎖）\(C\)、\(s := \cup C\)を取る; ステップ3: \(s \in C\)で\(Dom (s) = L\)であることを見る; ステップ4: \(\rho := \sum_{l \in L} s (l)\)および\(\rho_l := s (l) / \rho\)を取る; ステップ5: \(\{\rho_l \vert l \in L\}\)は、\(\{V_l \vert l \in L\}\)に従属するある、ユニティーのパーティションであることを見る。
ステップ1:
\(F := \{f: T \to [0, 1] \vert f \in \{\text{ 全てのコンティニュアスマップ（連続写像）たち }\}\}\)を取ろう、それは、ある正式なセット（集合）である。
\(S'' := \cup_{L^` \subseteq L} \{g: L^` \to F\}\)を取ろう、それは、ある正式なセット（集合）である。
\(S' := \{g \in S'' \vert \forall l \in Dom (g) (\overline{g (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})} \subseteq V_l) \land T = (\cup_{l \in Dom (g)} g (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})) \cup (\cup_{l \in L \setminus Dom (g)} V_l)\}\)を取ろう、それは、ある正式なセット（集合）である。
\(S := \{\{(l, g (l)) \vert l \in Dom (g)\} \vert g \in S'\}\)を取ろう、それは、ある正式なセット（集合）である。
注意として、\(S\)は本質的には\(S'\)と同一である、違いは、各マップ（写像）\(g \in S'\)が当該リレーション（関係）\(\{(l, g (l)) \vert l \in Dom (g)\} \subseteq Dom (g) \times F\)として表わされているだけであって、したがって、これ以降、私たちは、頻繁に、\(S\)のある要素を対応するマップ（写像）と同定する、それが意味するのは、私たちは、暗黙に、\(S'\)と\(S\)間を行き来する: 厳密に言えば、\(S'\)と\(S\)間の当該バイジェクション（全単射）を定義し\(S'\)と\(S\)間を明示的に行き来するべきである、しかし、それは、表記たちを複雑にすることになるだろう。
\(S\)に、オーダリング（順序）を包含として持たせる。
\(S\)はあるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）である、任意のセット（集合）でオーダリング（順序）を包含として持つものは、あるパーシャリーオーダードセット（半順序集合）であるという命題によって。
\(T\)はノーマル（正規）である、任意のパラコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）であるという命題によって。
\(S'\)は、したがって、\(S\)も、空でない、なぜなら、ある\(g \in S'\)を以下のとおり構築することができる。
\(l' \in L\)を任意のものとしよう。
\(T = V_{l'} \cup \cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l\)、したがって、\(T \setminus (\cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l) \subseteq V_{l'}\)、なぜなら、各\(t \in T \setminus (\cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l)\)に対して、\(t \notin \cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l\)、したがって、\(t \in V_{l'}\)。
\(T \setminus (\cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l) \subseteq T\)はクローズド（閉）であり、以下を満たすあるオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq T\)、つまり、\(T \setminus (\cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l) \subseteq U \subseteq \overline{U} \subseteq V_{l'}\)、がある、任意のトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、各オープンサブセット（開部分集合）に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されている各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、あるオープンサブセット（開部分集合）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含しそのクロージャー（閉包）が当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
以下を満たすあるコンティニュアスマップ（連続写像）\(f: T \to [0, 1]\)、つまり、\(f (T \setminus (\cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l)) = \{1\}\)および\(f (T \setminus U) = \{0\}\)、がある、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）という命題によって。
したがって、\(f^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\}) \subseteq U\)、そして、\(\overline{f^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})} \subseteq \overline{U} \subseteq V_{l'}\)。
\(T \setminus (\cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l) \subseteq f^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)であるから、\(T = f^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\}) \cup (\cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l)\)、なぜなら、各\(t \in T\)に対して、\(t \notin f^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)である時は、\(t \notin T \setminus (\cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l)\)、したがって、\(t \in \cup_{l \in L \setminus \{l'\}} V_l\)。
したがって、\(g: \{l'\} \to F, l' \mapsto f \in S'\)。
ステップ2:
\(S\)のあるマキシマル（上限）チェイン（鎖）\(C \subseteq S\)がある、ハウスドルフマキシマル（上限）プリンシプル（律）: 任意のパーシャリーオーダードセット（半順序集合）の任意のチェイン（鎖）はあるマキシマル（上限）チェイン（鎖）内に包含されている、によって: 任意の\(1\)-ポイントサブセット（部分集合）を初期チェイン（鎖）として取る。
\(s := \cup C\)を取ろう: \(C\)の各要素は\(S\)のある要素である、それは、あるマップ（写像）のリレーション（関係）である。
ステップ3:
各\((l, g (l)) \in s\)に対して、\(s\)の他の要素で同一\(l\)を持つものは無い、なぜなら、\((l, g (l))\)は\(g \in C\)からのものであるところ、任意の他の\(g' \in C\)に対して、\(g \subset g'\)または\(g' \subset g\)、なぜなら、\(C\)は\(S\)のあるチェイン（鎖）である、そして、\(g'\)のドメイン（定義域）は\(l\)を含むかもしれないし含まないかもしれないところ、もしも、\(g'\)が含む場合、\(g' (l) = g (l)\)、なぜなら、そうでなかったら、\(g \subset g'\)も\(g' \subset g\)も可能でないことになる: 上記に警告されたとおり、\(g\)または\(g'\)は便利に\(S\)のある要素または\(S'\)の対応する要素であるとみなされている: 同様の表現たちが下でも使われるであろう、これ以上の警告無しに。
したがって、\(s\)はあるマップ（写像）\(s: Dom (s) \to F\)に対応する、\(Dom (s) = \cup_{c \in C} Dom (c) \subseteq L\)に対して。
各\(l \in Dom (s)\)に対して、\(\overline{s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})} \subseteq V_l\)が成立する、なぜなら、\(l \in Dom (c)\)、ある\(c \in C\)に対して、そして、\(s (l) = c (l)\)。
\(T = (\cup_{l \in Dom (s)} s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})) \cup (\cup_{l \in L \setminus Dom (s)} V_l)\)であることを見よう。
そうでなかったと仮定しよう。
以下を満たすある\(t \in T\)、つまり、\(t \notin \cup_{l \in Dom (s)} s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)および\(t \notin \cup_{l \in L \setminus Dom (s)} V_l\)、があることになる。
以下を満たすある非空\(\{l_1, ..., l_n\} \subseteq L\)、つまり、\(t \in V_l\)、各\(l \in \{l_1, ..., l_n\}\)に対して、および\(t \notin V_l\)、各\(l \in L \setminus \{l_1, ..., l_n\}\)に対して、なぜなら、\(\{V_l \vert l \in L\}\)は\(T\)のあるローカルにファイナイト（有限）オープンカバー（開被覆）である。
各\(l \in \{l_1, ..., l_n\}\)に対して、\(l \in Dom (s)\)、なぜなら、そうでなかったら、\(l \in L \setminus Dom (s)\)、したがって、\(t \in V_l \subseteq \cup_{l \in L \setminus Dom (s)} V_l\)、\(t \notin \cup_{l \in L \setminus Dom (s)} V_l\)に反する矛盾。
したがって、\(l_1 \in Dom (c_1), ..., l_n \in Dom (c_n)\)、何らかの\(c_1, ..., c_n \in C\)に対して、そして、\(C\)はあるチェイン（鎖）であるから、\(Dom (c_1) \subset ... \subset Dom (c_n)\)、一般性を失うこと無く（もしも、そうでない場合、\(\{l_1, ..., l_n\}\)を並び替える、任意のリニアリーオーダードセット（線形順序集合）に対して、任意のファイナイトサブセット（有限部分集合）は一列に並べることができるという命題によって: \(C\)はあるリニアリーオーダードセット（線形順序集合）でありその要素たちの包含は当該要素たちのマップ（写像）たちとみなしたものたちのドメイン（定義域）たちの包含である）。したがって、\(l_1, ..., l_n \in Dom (c_n)\)、一般性を失うこと無く。
\(T = (\cup_{l \in Dom (c_n)} c_n (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})) \cup (\cup_{l \in L \setminus Dom (c_n)} V_l)\)であるから、\(t \in (\cup_{l \in Dom (c_n)} c_n (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})) \cup (\cup_{l \in L \setminus Dom (c_n)} V_l)\)、しかし、各\(l \in L \setminus Dom (c_n)\)に対して、\(l \notin \{l_1, ..., l_n\}\)、したがって、\(t \notin V_l\)、したがって、\(t \notin \cup_{l \in L \setminus Dom (c_n)} V_l\)、したがって、\(t \in \cup_{l \in Dom (c_n)} c_n (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)、それが意味することになるのは、\(t \in \cup_{l \in Dom (s)} s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)、\(t \notin \cup_{l \in Dom (s)} s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)に反する矛盾。
したがって、\(T = (\cup_{l \in Dom (s)} s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})) \cup (\cup_{l \in L \setminus Dom (s)} V_l)\)。
したがって、\(s \in S\)。
すると、\(s \in C\)、なぜなら、そうでなかったら、\(C \subset C \cup \{s\}\)、その一方で、\(C \cup \{s\}\)はあるチェイン（鎖）であることになる、なぜなら、各\(c \in C\)に対して、\(c \subseteq \cup C = s\)、それが含意することになるのは、\(c \subset s\)、なぜなら、\(c \neq s\)、なぜなら、\(s \notin C\)、\(C\)がマキシマル（上限）であったことに反する矛盾。
\(Dom (s) = L\)であることを見よう。
そうでなかったと仮定しよう。
\(l' \in L \setminus Dom (s)\)としよう。
\(T = (\cup_{l \in Dom (s)} s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})) \cup (\cup_{l \in L \setminus Dom (s)} V_l) = (\cup_{l \in Dom (s)} s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})) \cup (\cup_{l \in L \setminus Dom (s) \setminus \{l'\}} V_l) \cup V_{l'}\)、そして、\(W := (\cup_{l \in Dom (s)} s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})) \cup (\cup_{l \in L \setminus Dom (s) \setminus \{l'\}} V_l)\)としよう。
\(T \setminus W \subseteq T\)はクローズド（閉）であることになる、そして、\(T \setminus W \subseteq V_{l'}\)、なぜなら、各\(t \in T \setminus W\)に対して、\(t \notin W\)、したがって、\(t \in V_{l'}\)。
以下を満たすあるオープン（開）\(X \subseteq T\)、つまり、\(T \setminus W \subseteq X \subseteq \overline{X} \subseteq V_{l'}\)、があることになる、任意のトポロジカルスペース（空間）はノーマル（正規）である、もしも、各オープンサブセット（開部分集合）に対して、当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されている各クローズドサブセット（閉部分集合）に対して、あるオープンサブセット（開部分集合）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含しそのクロージャー（閉包）が当該オープンサブセット（開部分集合）内に包含されているものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
以下を満たすあるコンティニュアス（連続）\(h: T \to [0, 1]\)、つまり、\(h (T \setminus W) = \{1\}\)および\(h (T \setminus X) = \{0\}\)、があることになる、任意のノーマル（正規）トポロジカルスペース（空間）、任意のクローズドサブセット（閉部分集合）、当該クローズドサブセット（閉部分集合）を包含する任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、任意のクローズドインターバル（閉区間）の中へのあるコンティニュアスマップ（連続写像）で当該クローズドサブセット（閉部分集合）を当該クローズドインターバル（閉区間）の任意のバウンダリー（境界）へ当該オープンサブセット（開部分集合）のコンプリメント（補集合）を他のバウンダリー（境界）へマップするものがある（ユリソーンの補助定理）という命題によって。
\(T \setminus W \subseteq h^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)、したがって、\(W \cup h^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\}) = T\)、なぜなら、各\(t \in T\)に対して、\(t \in W\)または\(t \in T \setminus W\)、しかし、\(t \in T \setminus W\)である時は、\(t \in h^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)。
\(h^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\}) \subseteq X\)、なぜなら、各\(t \in h^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)に対して、\(h (t) \in [0, 1] \setminus \{0\}\)、したがって、\(t \notin T \setminus X\)、したがって、\(t \in X\)。したがって、\(\overline{h^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})} \subseteq \overline{X} \subseteq V_{l'}\)。
したがって、\(s \cup (l', h) \in S\)。
\(C \cup \{s \cup (l', h)\}\)はあるチェイン（鎖）だということになる、なぜなら、各\(c \in C\)に対して、\(c \subseteq s \subset s \cup (l', h)\)、\(C\)がマキシマル（上限）であったことに反する矛盾。
したがって、\(Dom (s) = L\)。
ステップ4:
\(\rho := \sum_{l \in L} s (l)\)を取ろう、それは、妥当である、なぜなら、\(s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\}) \subseteq V_l\)および\(\{V_l \vert l \in L\}\)はローカルにファイナイト（有限）である。
各\(t \in T\)に対して、\(\rho (t) \neq 0\)、なぜなら、\(T = \cup_{l \in L} s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)、したがって、\(t \in s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})\)、ある\(l \in L\)に対して、したがって、\(0 \lt s (l) (t)\)。
各\(l \in L\)に対して、\(\rho_l := s (l) / \rho\)としよう、それは、妥当である、なぜなら、\(\rho (t) \neq 0\)、各\(t \in T\)に対して。
ステップ5:
\(Supp (\rho_l) = Supp (s (l)) = \overline{s (l)^{-1} ([0, 1] \setminus \{0\})} \subseteq V_l\)。
\(\rho_l\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）および当該スペース（空間）から任意のユークリディアントポロジカルスペース（空間）の中へのコンティニュアスマップ（連続写像）たちの任意のセット（集合）で非ゼロのプリイメージ（前像）たちのセット（集合）がローカルにファイナイト（有限）であるものに対して、当該マップ（写像）たちの合計はコンティニュアス（連続）であるという命題によって: \(\{Supp (\rho_l) \vert l \in L\}\)はローカルにファイナイト（有限）である、なぜなら、\(\{V_l \vert l \in L\}\)はローカルにファイナイト（有限）である、その一方で、\(Supp (\rho_l) \subseteq V_l\)。
\(0 \le \rho_l \le 1\)、なぜなら、\(0 \lt \rho\)および\(0 \le s (l)\)および\(s (l) / \rho = s (l) / \sum_{l' \in L} s (l') \le 1\)。
\(\sum_{l \in L} \rho_l = 1\)、なぜなら、\(\sum_{l \in L} \rho_l = \sum_{l \in L} s (l) / \rho = \rho / \rho = 1\)。
したがって、\(\{\rho_l \vert l \in L\}\)は、\(\{V_l \vert l \in L\}\)に従属するある、ユニティーのパーティションである。
