セカンドカウンタブル（可算）ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）は\(\sigma\)-コンパクトでパラコンパクトであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(\sigma\)-コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、パラコンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はパラコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）はいくつかのディスジョイント（互いに素な）オープン（開）\(\sigma\)コンパクトサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、各ポイントがあるコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つ場合、そしてその場合に限って、当該スペース（空間）はローカルにコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のカウンタブルセット（可算集合）の任意のサブセット（部分集合）はカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のインフィニットセット（無限集合）に対して、もしも、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるサージェクション（全射）がある場合、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるバイジェクション（全単射）があるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）は\(\sigma\)-コンパクトでパラコンパクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）ローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全ての } \sigma \text{ -コンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\land\)
\(T \in \{\text{ 全てのパラコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(B\)を取り、各\(t \in T\)に対して、\(t\)のあるコンパクトネイバーフッド（近傍）\(K_t\)および\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t\)を当該カウンタブル（可算）ベーシス（基底）から取り、\(\overline{U_t}\)は\(T\)のあるコンパクトサブセット（部分集合）であることを見る; ステップ2: 任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はパラコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）はいくつかのディスジョイント（互いに素な）オープン（開）\(\sigma\)コンパクトサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する。
ステップ1:
\(T\)の任意のカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(B\)を取ろう。
\(t \in T\)を任意のものとしよう。
\(t\)のあるコンパクトネイバーフッド（近傍）\(K_t \subseteq T\)がある、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、各ポイントがあるコンパクトネイバーフッド（近傍）を持つ場合、そしてその場合に限って、当該スペース（空間）はローカルにコンパクトであるという命題によって。
\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \in B\)、つまり、\(U_t \subseteq K_t\)、がある、トポロジカルスペース（空間）のベーシス（基底）の定義によって。
\(K_t\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
\(\overline{U_t} \subseteq K_t\)、なぜなら、当該クロージャー（閉包）は、\(U_t\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であり、その一方、\(K_t\)はそうしたクローズドサブセット（閉部分集合）たちの内の1つである。
\(K_t\)は\(T\)のあるコンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
\(\overline{U_t} \subseteq K_t\)は\(K_t\)上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(\overline{U_t}\)は\(K_t\)上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）はコンパクトであるという命題によって。
\(\overline{U_t}\)は\(T\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。
セット（集合）\(\{\overline{U_t} \vert t \in T\}\)を取ろう。
注意として、任意のセット（集合）は、セット（集合）の定義によって、その要素たち内に何の重複を取ろう持たないので、\(\{\overline{U_t} \vert t \in T\}\)はその要素たち内に何の重複も持たない: それは\(T\)の全てのポイントたち数分の要素たちを持っているように思われるかもしれないが、\(t \neq t'\)を満たす何らかの\(t, t' \in T\)に対して、\(\overline{U_t} = \overline{U_{t'}}\)であり、\(\overline{U_t} = \overline{U_{t'}}\)は\(\{\overline{U_t} \vert t \in T\}\)のある単一要素である。
各\(\overline{U_t}\)は\(U_t \in B\)へ対応するから、\(\{\overline{U_t} \vert t \in T\}\)はあるカウンタブルセット（可算集合）である: \(\{U_t \vert t \in T\} \subseteq B\)はあるカウンタブルセット（可算集合）である、任意のカウンタブルセット（可算集合）の任意のサブセット（部分集合）はカウンタブル（可算）であるという命題によって、そして、もしも、\(\{U_t \vert t \in T\}\)がファイナイト（有限）である場合、\(\{\overline{U_t} \vert t \in T\}\)はファイナイト（有限）であり、そうでない場合、あるバイジェクション（全単射）\(f: \mathbb{N} \to \{U_t \vert t \in T\}\)があり、サージェクション（全射）\(f': \mathbb{N} \to \{\overline{U_t} \vert t \in T\}, n \mapsto f (n) \mapsto \overline{f (n)}\)があり、あるバイジェクション（全単射）\(f': \mathbb{N} \to \{\overline{U_t} \vert t \in T\}\)がある、任意のインフィニットセット（無限集合）に対して、もしも、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるサージェクション（全射）がある場合、ナチュラルナンバー（自然数）たちセット（集合）から当該セット（集合）の上へのあるバイジェクション（全単射）があるという命題によって。
\(T = \cup \{\overline{U_t} \vert t \in T\}\)、なぜなら、各\(t \in T\)に対して、\(t \in \overline{U_t}\)。
したがって、\(T\)は\(\sigma\)-コンパクトである。
ステップ2:
任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）はパラコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）はいくつかのディスジョイント（互いに素な）オープン（開）\(\sigma\)コンパクトサブスペース（部分空間）たちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(T\)はパラコンパクトである: 任意の\(\sigma\)-コンパクトトポロジカルスペース（空間）は、それ自身のあるオープン（開）\(\sigma\)-コンパクトサブスペース（部分空間）である。
