第1トポロジカルスペース（空間）から第2トポロジカルスペース（空間）の上へのクウォシェント（商）マップ（写像）および第3のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）上方のアイデンティティマップ（恒等写像）に対して、マップ（写像）とアイデンティティマップ（恒等写像）のプロダクトはクウォシェント（商）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、プロダクトマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、クウォシェント（商）のユニバーサルプロパティ: 任意のトポロジカルスペース（空間）間サージェクション（全射）は、クウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、以下を満たす任意の追加のマップ（写像）、つまり、それは元のマップ（写像）のコドメイン（余域）から 任意の追加のトポロジカルスペース（空間）へのマップ（写像）である、がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、元のマップ（写像）の後の追加マップ（写像）のコンポジション（合成）がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限ってを認めている。
- 読者は、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものが当該ポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあるという命題を認めている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(2\)個のセット（集合）たちのプロダクトから任意のセット（集合）の中への任意のマップ（写像）、第2セット（集合）の任意のサブセット（部分集合）、第3セット（集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、第1セット（集合）のサブセット（部分集合）で各ポイントと第2セット（集合）の当該サブセット（部分集合）のプロダクトのイメージ（像）が第3セット（集合）の当該サブセット（部分集合）内に包含されているもののコンプリメント（補集合）は、第3セット（集合）の当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）と第1セット（集合）と第2セット（集合）の当該サブセット（部分集合）のプロダクトのインターセクション（共通集合）のプロジェクション（射影）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意の構成要素で他の構成要素たちがコンパクトであるものに対して、当該構成要素の上へのプロジェクション（射影）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の第1トポロジカルスペース（空間）から任意の第2トポロジカルスペース（空間）の上への任意のクウォシェント（商）マップ（写像）および任意の第3のローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）上方のアイデンティティマップ（恒等写像）に対して、当該マップ（写像）と当該アイデンティティマップ（恒等写像）のプロダクトはクウォシェント（商）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_3\): \(\in \{\text{ 全てのローカルにコンパクトハウスドルフトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのクウォシェント（商）マップ（写像）たち }\}\)
\(id\): \(: T_3 \to T_3, t_3 \mapsto t_3\)
\(T_1 \times T_3\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(T_2 \times T_3\): \(= \text{ 当該プロダクトトポロジカルスペース（空間） }\)
\(f \times id\): \(: T_1 \times T_3 \to T_2 \times T_3, (t_1, t_3) \mapsto (f (t_1), t_3)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \times id \in \{\text{ 全てのクウォシェント（商）マップ（写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: クウォシェント（商）のユニバーサルプロパティ: 任意のトポロジカルスペース（空間）間サージェクション（全射）は、クウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、以下を満たす任意の追加のマップ（写像）、つまり、それは元のマップ（写像）のコドメイン（余域）から 任意の追加のトポロジカルスペース（空間）へのマップ（写像）である、がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、元のマップ（写像）の後の追加マップ（写像）のコンポジション（合成）がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限ってを適用する; ステップ1: \(f \times id\)はあるコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）であることを見、\(g: T_2 \times T_3 \to T_4\)を任意のマップ（写像）とし、もしも、\(g\)がコンティニュアス（連続）である場合、\(g \circ (f \times id)\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ2: もしも、\(g \circ (f \times id)\)がコンティニュアス（連続）である場合、\(g\)はコンティニュアス（連続）であることを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f \times id\)はあるサージェクション（全射）である、なぜなら、各\((t_2, t_3) \in T_2 \times T_3\)に対して、以下を満たすある\(t_1 \in T_1\)、つまり、\(f (t_1) = t_2\)、がある、なぜなら、\(f\)はあるサージェクション（全射）である、したがって、\(f \times id (t_1, t_3) = (t_2, t_3)\)。
\(f \times id\)はコンティニュアス（連続）である、任意の有限個のコンティヌアス（連続）マップ（写像）たちのプロダクトマップ（写像）は、プロダクトトポロジーによってコンティヌアス（連続）であるという命題によって。
\(g: T_2 \times T_3 \to T_4\)を任意のマップ（写像）、ここで、\(T_4\)は任意のトポロジカルスペース（空間）、としよう。
もしも、\(g\)がコンティニュアス（連続）である場合、\(g \circ (f \times id)\)はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちの任意のサブスペース（部分空間）たちの間の任意のマップ（写像）たちで任意の対応するポイントたちでコンティニュアス（連続）であるものに対して、コンポジション（合成）は当該ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であるという命題によって。
ステップ2:
\(g \circ (f \times id)\)はコンティニュアス（連続）であると仮定しよう。
\(g\)は\(T_2 \times T_3\)上の各ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\((t_2, t_3) \in T_2 \times T_3\)を任意のものとしよう。
\(U_{g (t_2, t_3)} \subseteq T_4\)を\(g (t_2, t_3)\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）としよう。
以下を満たすある\(t_1 \in T_1\)、つまり、\(f (t_1) = t_2\)、がある、なぜなら、\(f\)はあるサージェクション（全射）である。
\(g \circ (f \times id) (t_1, t_3) = g (f (t_1), t_3) = g (t_2, t_3)\)。
\(g \circ (f \times id)\)はコンティニュアス（連続）であるから、\((t_1, t_3)\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{(t_1, t_3)} \subseteq T_1 \times T_3\)、つまり、\(g \circ (f \times id) (U_{(t_1, t_3)}) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\)、がある、しかし、\(t_1\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_1} \subseteq T_1\)および\(t_3\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t_3} \subseteq T_3\)で\(U_{t_1} \times U_{t_3} \subseteq U_{(t_1, t_3)}\)を満たすものたちがある、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意のポイントの任意のネイバーフッド（近傍）に対して、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）で当該ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものが当該ポイントのコンポーネントたちの何らかのオープンネイバーフッド（開近傍）たちのプロダクトとしてあるという命題によって。
したがって、\(g \circ (f \times id) (U_{t_1} \times U_{t_3}) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\)。
\(t_3\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\({U_{t_3}}^` \subseteq T_3\)、つまり、\(\overline{{U_{t_3}}^`} \subseteq T_3\)はコンパクトであり\(\overline{{U_{t_3}}^`} \subseteq U_{t_3}\)、がある、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがあるという命題によって、したがって、\(g \circ (f \times id) (U_{t_1} \times \overline{{U_{t_3}}^`}) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\)。
\(S_2 := \{{t_2}' \in T_2 \vert g (\{{t_2}'\} \times \overline{{U_{t_3}}^`}) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\}\)を定義しよう。
\(t_2 \in S_2\)、なぜなら、\(g \circ (f \times id) (\{t_1\} \times \overline{{U_{t_3}}^`}) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\)、その一方で、\(g \circ (f \times id) (\{t_1\} \times \overline{{U_{t_3}}^`}) = g (\{f (t_1)\} \times \overline{{U_{t_3}}^`}) = g (\{t_2\} \times \overline{{U_{t_3}}^`})\)。
\(f^{-1} (S_2) = \{{t_1}' \in T_1 \vert g \circ (f \times id) (\{{t_1}'\} \times \overline{{U_{t_3}}^`}) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\}\)、なぜなら、\(g \circ (f \times id) (\{{t_1}'\} \times \overline{{U_{t_3}}^`}) = g (\{f ({t_1}')\} \times \overline{{U_{t_3}}^`})\)であるところ、各\(p \in f^{-1} (S_2)\)に対して、\(f (p) \in S_2\)、\(g (\{f (p)\} \times \overline{{U_{t_3}}^`})) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\)、それが含意するのは、\(p \in \{{t_1}' \in T_1 \vert g \circ (f \times id) (\{{t_1}'\} \times \overline{{U_{t_3}}^`}) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\}\); 各\(p \in \{{t_1}' \in T_1 \vert g \circ (f \times id) (\{{t_1}'\} \times \overline{{U_{t_3}}^`}) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\}\)に対して、\(g (\{f (p)\} \times \overline{{U_{t_3}}^`})) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\)、それが含意するのは、\(f (p) \in S_2\)、したがって、\(p \in f^{-1} (S_2)\)。
\(T_1 \setminus f^{-1} (S_2) = \pi_1 ((g \circ (f \times id))^{-1} (T_4 \setminus U_{g (t_2, t_3)}) \cap (T_1 \times \overline{{U_{t_3}}^`}))\)、任意の\(2\)個のセット（集合）たちのプロダクトから任意のセット（集合）の中への任意のマップ（写像）、第2セット（集合）の任意のサブセット（部分集合）、第3セット（集合）の任意のサブセット（部分集合）に対して、第1セット（集合）のサブセット（部分集合）で各ポイントと第2セット（集合）の当該サブセット（部分集合）のプロダクトのイメージ（像）が第3セット（集合）の当該サブセット（部分集合）内に包含されているもののコンプリメント（補集合）は、第3セット（集合）の当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のプリイメージ（前像）と第1セット（集合）と第2セット（集合）の当該サブセット（部分集合）のプロダクトのインターセクション（共通集合）のプロジェクション（射影）であるという命題によって。
\((g \circ (f \times id))^{-1} (T_4 \setminus U_{g (t_2, t_3)}) \subseteq T_1 \times T_3\)はクローズド（閉）である、なぜなら、\(g \circ (f \times id)\)はコンティニュアス（連続）であり\(T_4 \setminus U_{g (t_2, t_3)} \subseteq T_4\)はクローズド（閉）である、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、コドメイン（余域）の任意のクローズドサブセット（閉部分集合）のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、そして、\((g \circ (f \times id))^{-1} (T_4 \setminus U_{g (t_2, t_3)}) \cap (T_1 \times \overline{{U_{t_3}}^`})\)は\(T_1 \times \overline{{U_{t_3}}^`}\)上でクローズド（閉）である、ここで、\(T_1 \times \overline{{U_{t_3}}^`}\)、当該トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのプロダクトとして、は、\(T_1 \times T_3\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）である、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のインデックス付きトポロジカルスペース（空間）たちまたは有限数の任意のトポロジカルスペース（空間）たち、およびそれらのサブスペース（部分空間）たちに対して、当該サブスペース（部分空間）たちのプロダクトはベーススペース（空間）たちのプロダクトのサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
\(\widetilde{\pi_1}: T_1 \times \overline{{U_{t_3}}^`} \to T_1 := \pi_1 \vert_{T_1 \times \overline{{U_{t_3}}^`}}\)でもって、\(\pi_1 ((g \circ (f \times id))^{-1} (T_4 \setminus U_{g (t_2, t_3)}) \cap (T_1 \times \overline{{U_{t_3}}^`})) = \widetilde{\pi_1} ((g \circ (f \times id))^{-1} (T_4 \setminus U_{g (t_2, t_3)}) \cap (T_1 \times \overline{{U_{t_3}}^`}))\)。
しかし、\(\widetilde{\pi_1}\)はクローズド（閉）である、任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）および任意の構成要素で他の構成要素たちがコンパクトであるものに対して、当該構成要素の上へのプロジェクション（射影）はクローズド（閉）であるという命題によって: \(\overline{{U_{t_3}}^`}\)、コンパクトサブセット（部分集合）として、は、コンパクトサブスペース（部分空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。
したがって、\(T_1 \setminus f^{-1} (S_2) = \pi_1 ((g \circ (f \times id))^{-1} (T_4 \setminus U_{g (t_2, t_3)}) \cap (T_1 \times \overline{{U_{t_3}}^`}))\)は\(T_1\)上でクローズド（閉）である、したがって、\(f^{-1} (S_2)\)は\(T_1\)上でオープン（開）である。
したがって、\(S_2\)は\(T_2\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f\)はクウォシェント（商）である。
したがって、\(S_2\)は\(t_2\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
\(g (S_2 \times {U_{t_3}}^`) \subseteq U_{g (t_2, t_3)}\)、\(S_2\)の定義によって: \({U_{t_3}}^` \subseteq \overline{{U_{t_3}}^`}\)。
\(S_2 \times {U_{t_3}}^`\) is an open neighborhood of \((t_2, t_3)\). \(S_2 \times {U_{t_3}}^`\)は\((t_2, t_3)\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）である。
したがって、\(g\)は\((t_2, t_3)\)においてコンティニュアス（連続）である。
したがって、\(g\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ3:
したがって、クウォシェント（商）のユニバーサルプロパティ: 任意のトポロジカルスペース（空間）間サージェクション（全射）は、クウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、以下を満たす任意の追加のマップ（写像）、つまり、それは元のマップ（写像）のコドメイン（余域）から 任意の追加のトポロジカルスペース（空間）へのマップ（写像）である、がコンティヌアス（連続）であるのは、もしも、元のマップ（写像）の後の追加マップ（写像）のコンポジション（合成）がコンティヌアス（連続）である場合、そしてその場合に限る、である場合、そしてその場合に限ってによって、\(f \times id\)はクウォシェント（商）である。
